Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnref1o Unicode version

Theorem cnref1o 8814
 Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 7049), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . . . 8
21recnd 7209 . . . . . . 7
3 ax-icn 7133 . . . . . . . . 9
43a1i 9 . . . . . . . 8
5 simpr 108 . . . . . . . . 9
65recnd 7209 . . . . . . . 8
74, 6mulcld 7201 . . . . . . 7
82, 7addcld 7200 . . . . . 6
98rgen2a 2418 . . . . 5
10 cnref1o.1 . . . . . 6
1110fnmpt2 5859 . . . . 5
129, 11ax-mp 7 . . . 4
13 1st2nd2 5832 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5213 . . . . . . . 8
15 df-ov 5546 . . . . . . . 8
1614, 15syl6eqr 2132 . . . . . . 7
17 xp1st 5823 . . . . . . . 8
18 xp2nd 5824 . . . . . . . 8
1917recnd 7209 . . . . . . . . 9
203a1i 9 . . . . . . . . . 10
2118recnd 7209 . . . . . . . . . 10
2220, 21mulcld 7201 . . . . . . . . 9
2319, 22addcld 7200 . . . . . . . 8
24 oveq1 5550 . . . . . . . . 9
25 oveq2 5551 . . . . . . . . . 10
2625oveq2d 5559 . . . . . . . . 9
2724, 26, 10ovmpt2g 5666 . . . . . . . 8
2817, 18, 23, 27syl3anc 1170 . . . . . . 7
2916, 28eqtrd 2114 . . . . . 6
3029, 23eqeltrd 2156 . . . . 5
3130rgen 2417 . . . 4
32 ffnfv 5355 . . . 4
3312, 31, 32mpbir2an 884 . . 3
3417, 18jca 300 . . . . . . 7
35 xp1st 5823 . . . . . . . 8
36 xp2nd 5824 . . . . . . . 8
3735, 36jca 300 . . . . . . 7
38 cru 7769 . . . . . . 7
3934, 37, 38syl2an 283 . . . . . 6
40 fveq2 5209 . . . . . . . . 9
41 fveq2 5209 . . . . . . . . . 10
42 fveq2 5209 . . . . . . . . . . 11
4342oveq2d 5559 . . . . . . . . . 10
4441, 43oveq12d 5561 . . . . . . . . 9
4540, 44eqeq12d 2096 . . . . . . . 8
4645, 29vtoclga 2665 . . . . . . 7
4729, 46eqeqan12d 2097 . . . . . 6
48 1st2nd2 5832 . . . . . . . 8
4913, 48eqeqan12d 2097 . . . . . . 7
50 vex 2605 . . . . . . . . 9
51 1stexg 5825 . . . . . . . . 9
5250, 51ax-mp 7 . . . . . . . 8
53 2ndexg 5826 . . . . . . . . 9
5450, 53ax-mp 7 . . . . . . . 8
5552, 54opth 4000 . . . . . . 7
5649, 55syl6bb 194 . . . . . 6
5739, 47, 563bitr4d 218 . . . . 5
5857biimpd 142 . . . 4
5958rgen2a 2418 . . 3
60 dff13 5439 . . 3
6133, 59, 60mpbir2an 884 . 2
62 cnre 7177 . . . . . 6
63 simpl 107 . . . . . . . . 9
64 simpr 108 . . . . . . . . 9
6563recnd 7209 . . . . . . . . . 10
663a1i 9 . . . . . . . . . . 11
6764recnd 7209 . . . . . . . . . . 11
6866, 67mulcld 7201 . . . . . . . . . 10
6965, 68addcld 7200 . . . . . . . . 9
70 oveq1 5550 . . . . . . . . . 10
71 oveq2 5551 . . . . . . . . . . 11
7271oveq2d 5559 . . . . . . . . . 10
7370, 72, 10ovmpt2g 5666 . . . . . . . . 9
7463, 64, 69, 73syl3anc 1170 . . . . . . . 8
7574eqeq2d 2093 . . . . . . 7
76752rexbiia 2383 . . . . . 6
7762, 76sylibr 132 . . . . 5
78 fveq2 5209 . . . . . . . 8
79 df-ov 5546 . . . . . . . 8
8078, 79syl6eqr 2132 . . . . . . 7
8180eqeq2d 2093 . . . . . 6
8281rexxp 4508 . . . . 5
8377, 82sylibr 132 . . . 4
8483rgen 2417 . . 3
85 dffo3 5346 . . 3
8633, 84, 85mpbir2an 884 . 2
87 df-f1o 4939 . 2
8861, 86, 87mpbir2an 884 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wral 2349  wrex 2350  cvv 2602  cop 3409   cxp 4369   wfn 4927  wf 4928  wf1 4929  wfo 4930  wf1o 4931  cfv 4932  (class class class)co 5543   cmpt2 5545  c1st 5796  c2nd 5797  cc 7041  cr 7042  ci 7045   caddc 7046   cmul 7048 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742 This theorem is referenced by:  cnrecnv  9935
 Copyright terms: Public domain W3C validator