Theorem dedekindicc 12780

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7274 except that the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicc	|- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindicc

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.lss	. . . . 5 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4		dedekindicc.uss	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		dedekindicc.um	. . . . 5 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7		dedekindicc.lr	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8		dedekindicc.ur	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9		dedekindicc.disj	. . . . 5 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10		dedekindicc.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11		dedekindicc.ab	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemicc 12779	. . . 4 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
13		df-reu 2423	. . . 4 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
14	12, 13	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
15		breq1 3932	. . . . . . . . . 10 |- ( q = a -> ( q < x <-> a < x ) )
16	15	cbvralv 2654	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. L q < x <-> A. a e. L a < x )
17		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 |- ( r = b -> ( x < r <-> x < b ) )
18	17	cbvralv 2654	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. U x < r <-> A. b e. U x < b )
19	16, 18	anbi12i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) )
20	19	anbi2i 452	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) )
21		iccssre 9738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
22	1, 2, 21	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
23	22	sselda 3097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
24	23	adantrr 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. RR )
25	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
26	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR )
27		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> ph )
28		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
29	22	sseld 3096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> q e. RR ) )
30	27, 28, 29	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. RR )
31	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> x e. RR )
32	1	rexrd 7815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
33	32	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A e. RR* )
34	2	rexrd 7815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
35	34	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> B e. RR* )
36		iccgelb 9715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ q e. ( A [,] B ) ) -> A <_ q )
37	33, 35, 28, 36	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A <_ q )
38		breq1 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = q -> ( a < x <-> q < x ) )
39		simprrl 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. a e. L a < x )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A. a e. L a < x )
41		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q e. L )
42	38, 40, 41	rspcdva 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> q < x )
43	26, 30, 31, 37, 42	lelttrd 7887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( q e. ( A [,] B ) /\ q e. L ) ) -> A < x )
44	25, 43	rexlimddv 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A < x )
45	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
46	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x e. RR )
47		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> ph )
48		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
49	22	sseld 3096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> r e. RR ) )
50	47, 48, 49	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. RR )
51	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR )
52		breq2 3933	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( x < b <-> x < r ) )
53		simprrr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A. b e. U x < b )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A. b e. U x < b )
55		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r e. U )
56	52, 54, 55	rspcdva 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < r )
57	32	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> A e. RR* )
58	34	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> B e. RR* )
59		iccleub 9714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ r e. ( A [,] B ) ) -> r <_ B )
60	57, 58, 48, 59	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> r <_ B )
61	46, 50, 51, 56, 60	ltletrd 8185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) /\ ( r e. ( A [,] B ) /\ r e. U ) ) -> x < B )
62	45, 61	rexlimddv 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x < B )
63	32	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> A e. RR* )
64	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> B e. RR* )
65		elioo2 9704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
66	63, 64, 65	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x < B ) ) )
67	24, 44, 62, 66	mpbir3and 1164	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. a e. L a < x /\ A. b e. U x < b ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
68	20, 67	sylan2b 285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
69		simprr 521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
70	68, 69	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
71		ioossicc 9742	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
72	71	sseli 3093	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	72	ad2antrl 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
74		simprr 521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
75	73, 74	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
76	70, 75	impbida 585	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
77	76	eubidv 2007	. . 3 |- ( ph -> ( E! x ( x e. ( A [,] B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) )
78	14, 77	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
79		df-reu 2423	. 2 |- ( E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> E! x ( x e. ( A (,) B ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
80	78, 79	sylibr 133	1 |- ( ph -> E! x e. ( A (,) B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E!weu 1999   A.wral 2416   E.wrex 2417   E!wreu 2418   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   (,)cioo 9671   [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-ioo 9675  df-icc 9678  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  12789