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Theorem dfuzi 8538
Description: An expression for the upper integers that start at  N that is analogous to dfnn2 8108 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dfuzi  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 3661 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^|
{ x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x ) )
2 dfuz.1 . . . 4  |-  N  e.  ZZ
32peano5uzi 8537 . . 3  |-  ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x )
41, 3mpgbir 1383 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
52zrei 8438 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
65leidi 7653 . . . . 5  |-  N  <_  N
7 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  ( N  <_  z  <->  N  <_  N ) )
87elrab 2750 . . . . 5  |-  ( N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  N  <_  N ) )
92, 6, 8mpbir2an 884 . . . 4  |-  N  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
10 peano2uz2 8535 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )  -> 
( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } )
112, 10mpan 415 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
1211rgen 2417 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
13 zex 8441 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1413rabex 3930 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  _V
15 eleq2 2143 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( N  e.  x  <->  N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
16 eleq2 2143 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1716raleqbi1dv 2558 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1815, 17anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) ) )
1914, 18elab 2739 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
209, 12, 19mpbir2an 884 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  {
x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
21 intss1 3659 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
2220, 21ax-mp 7 . 2  |-  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
234, 22eqssi 3016 1  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   {crab 2353    C_ wss 2974   |^|cint 3644   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046    <_ cle 7216   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
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