Theorem dfuzi 9161

Description: An expression for the upper integers that start at N that is analogous to dfnn2 8722 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	|- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 3788	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x ) )
2		dfuz.1	. . . 4 |- N e. ZZ
3	2	peano5uzi 9160	. . 3 |- ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x )
4	1, 3	mpgbir 1429	. 2 |- { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5	2	zrei 9060	. . . . . 6 |- N e. RR
6	5	leidi 8247	. . . . 5 |- N <_ N
7		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( N <_ z <-> N <_ N ) )
8	7	elrab 2840	. . . . 5 |- ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } <-> ( N e. ZZ /\ N <_ N ) )
9	2, 6, 8	mpbir2an 926	. . . 4 |- N e. { z e. ZZ | N <_ z }
10		peano2uz2 9158	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. { z e. ZZ | N <_ z } ) -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
11	2, 10	mpan 420	. . . . 5 |- ( y e. { z e. ZZ | N <_ z } -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
12	11	rgen 2485	. . . 4 |- A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z }
13		zex 9063	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
14	13	rabex 4072	. . . . 5 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. _V
15		eleq2 2203	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( N e. x <-> N e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
16		eleq2 2203	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
17	16	raleqbi1dv 2634	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
18	15, 17	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) ) )
19	14, 18	elab 2828	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
20	9, 12, 19	mpbir2an 926	. . 3 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
21		intss1 3786	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z } )
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 |- |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z }
23	4, 22	eqssi 3113	1 |- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   {crab 2420   C_ wss 3071   |^|cint 3771   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   <_ cle 7801   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by: (None)