ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfl0 Unicode version

Theorem divfl0 9430
Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divfl0  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem divfl0
StepHypRef Expression
1 nn0z 8504 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
2 znq 8842 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
31, 2sylan 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
4 qcn 8852 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
5 addid2 7366 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
0  +  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B ) )
65eqcomd 2088 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )
73, 4, 63syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  =  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )
87fveq2d 5233 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B ) ) ) )
98eqeq1d 2091 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  0  <-> 
( |_ `  (
0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0 ) )
10 0z 8495 . . 3  |-  0  e.  ZZ
11 flqbi2 9425 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
) ) )
1210, 3, 11sylancr 405 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B
)  <  1 ) ) )
13 nn0ge0div 8567 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
1413biantrurd 299 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <  1  <->  ( 0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B )  <  1 ) ) )
15 nn0re 8416 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
16 nnrp 8876 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
17 divlt1lt 8934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )
1815, 16, 17syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )
1914, 18bitr3d 188 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
)  <->  A  <  B ) )
209, 12, 193bitrrd 213 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    <_ cle 7268    / cdiv 7879   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484   QQcq 8837   RR+crp 8867   |_cfl 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  9439
  Copyright terms: Public domain W3C validator