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Theorem fldiv4p1lem1div2 9255
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2  |-  ( ( N  =  3  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 7637 . . . 4  |-  1  <_  1
21a1i 9 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  1  <_  1 )
3 oveq1 5547 . . . . . . 7  |-  ( N  =  3  ->  ( N  /  4 )  =  ( 3  /  4
) )
43fveq2d 5210 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
3  /  4 ) ) )
5 3lt4 8155 . . . . . . 7  |-  3  <  4
6 3nn0 8257 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
7 4nn 8146 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
8 divfl0 9246 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  <  4  <->  ( |_ `  ( 3  /  4 ) )  =  0 ) )
96, 7, 8mp2an 410 . . . . . . 7  |-  ( 3  <  4  <->  ( |_ `  ( 3  /  4
) )  =  0 )
105, 9mpbi 137 . . . . . 6  |-  ( |_
`  ( 3  / 
4 ) )  =  0
114, 10syl6eq 2104 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  0 )
1211oveq1d 5555 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
13 0p1e1 8104 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1412, 13syl6eq 2104 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  1 )
15 oveq1 5547 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  ( 3  -  1 ) )
16 3m1e2 8109 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
1715, 16syl6eq 2104 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  2 )
1817oveq1d 5555 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( 2  / 
2 ) )
19 2div2e1 8115 . . . 4  |-  ( 2  /  2 )  =  1
2018, 19syl6eq 2104 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  1 )
212, 14, 203brtr4d 3822 . 2  |-  ( N  =  3  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
22 uzp1 8602 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  =  5  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) ) ) )
23 2re 8060 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2423leidi 7551 . . . . . 6  |-  2  <_  2
2524a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  2  <_  2 )
26 oveq1 5547 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  5  ->  ( N  /  4 )  =  ( 5  /  4
) )
2726fveq2d 5210 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
5  /  4 ) ) )
28 df-5 8052 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  =  ( 4  +  1 )
2928oveq1i 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  4 )  =  ( ( 4  +  1 )  /  4
)
30 4cn 8068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
31 ax-1cn 7035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
32 4ap0 8089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4 #  0
3330, 31, 30, 32divdirapi 7820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 4  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
3430, 32dividapi 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  /  4 )  =  1
3534oveq1i 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3633, 35eqtri 2076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  +  1 )  /  4 )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3729, 36eqtri 2076 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  /  4 )  =  ( 1  +  ( 1  /  4 ) )
3837fveq2i 5209 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  ( 5  / 
4 ) )  =  ( |_ `  (
1  +  ( 1  /  4 ) ) )
39 1re 7084 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
40 0le1 7550 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
41 4re 8067 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
42 4pos 8087 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
43 divge0 7914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  4 ) )
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 411 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  ( 1  /  4
)
45 1lt4 8157 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  4
46 recgt1 7938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
4741, 42, 46mp2an 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
4845, 47mpbi 137 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  4 )  <  1
49 1z 8328 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
50 znq 8656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( 1  /  4
)  e.  QQ )
5149, 7, 50mp2an 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  4 )  e.  QQ
52 flqbi2 9241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  /  4
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 1  +  ( 1  /  4
) ) )  =  1  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  4
)  /\  ( 1  /  4 )  <  1 ) ) )
5349, 51, 52mp2an 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 1  / 
4 ) ) )  =  1  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
4 )  /\  (
1  /  4 )  <  1 ) )
5444, 48, 53mpbir2an 860 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  ( 1  +  ( 1  /  4
) ) )  =  1
5538, 54eqtri 2076 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( 5  / 
4 ) )  =  1
5627, 55syl6eq 2104 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  =  1 )
5756oveq1d 5555 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
58 1p1e2 8106 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5957, 58syl6eq 2104 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  =  2 )
60 oveq1 5547 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( N  -  1 )  =  ( 5  -  1 ) )
6130, 31, 28mvrraddi 7291 . . . . . . . 8  |-  ( 5  -  1 )  =  4
6260, 61syl6eq 2104 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  ( N  -  1 )  =  4 )
6362oveq1d 5555 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( 4  / 
2 ) )
64 4d2e2 8143 . . . . . 6  |-  ( 4  /  2 )  =  2
6563, 64syl6eq 2104 . . . . 5  |-  ( N  =  5  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  2 )
6625, 59, 653brtr4d 3822 . . . 4  |-  ( N  =  5  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
67 eluz2 8575 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  6
)  <->  ( 6  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  6  <_  N ) )
68 znq 8656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( N  /  4
)  e.  QQ )
697, 68mpan2 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  QQ )
70 flqle 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  /  4 )  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  <_ 
( N  /  4
) )
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  <_ 
( N  /  4
) )
7271adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  4 ) )  <_  ( N  / 
4 ) )
7369flqcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  ZZ )
7473zred 8419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  RR )
75 zre 8306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
7741a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  4  e.  RR )
7832a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  4 #  0 )
7976, 77, 78redivclapd 7883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
8075, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
8139a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
8274, 80, 813jca 1095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  /\  ( N  /  4 )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
8382adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  e.  RR  /\  ( N  /  4
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
84 leadd1 7499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  /\  ( N  /  4 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  <_  ( N  / 
4 )  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  /  4
)  +  1 ) ) )
8583, 84syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  <_  ( N  /  4 )  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  /  4
)  +  1 ) ) )
8672, 85mpbid 139 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  /  4 )  +  1 ) )
87 div4p1lem1div2 8235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  6  <_  N )  -> 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
8875, 87sylan 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
89 peano2re 7210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
9074, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
91 peano2re 7210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  4 )  e.  RR  ->  (
( N  /  4
)  +  1 )  e.  RR )
9280, 91syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  4
)  +  1 )  e.  RR )
93 peano2rem 7341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
9493rehalfcld 8228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
9575, 94syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
9690, 92, 953jca 1095 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR ) )
9796adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR ) )
98 letr 7160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  / 
4 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  /\  ( ( N  /  4 )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
9997, 98syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  / 
4 )  +  1 )  /\  ( ( N  /  4 )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
10086, 88, 99mp2and 417 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
1011003adant1 933 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  6  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) )
10267, 101sylbi 118 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  6
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
103 5p1e6 8120 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
104103fveq2i 5209 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  6 )
105102, 104eleq2s 2148 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
5  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
10666, 105jaoi 646 . . 3  |-  ( ( N  =  5  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( 5  +  1 ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
10722, 106syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  +  1 )  <_  (
( N  -  1 )  /  2 ) )
10821, 107jaoi 646 1  |-  ( ( N  =  3  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  +  1 )  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245   # cap 7646    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   3c3 8041   4c4 8042   5c5 8043   6c6 8044   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569   QQcq 8651   |_cfl 9220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-5 8052  df-6 8053  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222
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