Theorem elnn1uz2 9401

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	|- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 700	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. NN ) )
2		nnz 9073	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1z 9080	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9126	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
5	3, 4	mpan2 421	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 1 )
6		df-dc 820	. . . . . . 7 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
8		df-ne 2309	. . . . . . 7 |- ( N =/= 1 <-> -. N = 1 )
9	8	orbi2i 751	. . . . . 6 |- ( ( N = 1 \/ N =/= 1 ) <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
10	7, 9	sylibr 133	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
11	2, 10	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
12		ordi 805	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) <-> ( ( N = 1 \/ N e. NN ) /\ ( N = 1 \/ N =/= 1 ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 413	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
14		eluz2b3 9398	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
15	14	orbi2i 751	. . 3 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) <-> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
16	13, 15	sylibr 133	. 2 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
17		1nn 8731	. . . 4 |- 1 e. NN
18		eleq1 2202	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( N e. NN <-> 1 e. NN ) )
19	17, 18	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 1 -> N e. NN )
20		eluz2nn 9364	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
21	19, 20	jaoi 705	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
22	16, 21	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   ` cfv 5123   1c1 7621   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  indstr2  9403  dfphi2  11896