Theorem indstr2 9403

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
indstr2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr2.3	|- ch
indstr2.4	|- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr2	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		elnn1uz2 9401	. . 3 |- ( x e. NN <-> ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3		indstr2.3	. . . . 5 |- ch
4		nnnlt1 8746	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
5	4	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < 1 )
6		breq2 3933	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( y < x <-> y < 1 ) )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x <-> y < 1 ) )
8	5, 7	mtbird 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < x )
9	8	pm2.21d 608	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x -> ps ) )
10	9	ralrimiva 2505	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
11		pm5.5 241	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
13		indstr2.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ch ) )
15	3, 14	mpbiri 167	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
16		indstr2.4	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
17	15, 16	jaoi 705	. . 3 |- ( ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
18	2, 17	sylbi 120	. 2 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
19	1, 18	indstr 9388	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1c1 7621   < clt 7800   NNcn 8720   2c2 8771   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)