ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  indstr2 Unicode version

Theorem indstr2 8829
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indstr2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr2.3  |-  ch
indstr2.4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
indstr2  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 elnn1uz2 8827 . . 3  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3 indstr2.3 . . . . 5  |-  ch
4 nnnlt1 8184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
54adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
6 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
76adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  1
) )
85, 7mtbird 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  x )
98pm2.21d 582 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  ->  ps )
)
109ralrimiva 2439 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
11 pm5.5 240 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ( ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
13 indstr2.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1412, 13bitrd 186 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ch )
)
153, 14mpbiri 166 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
16 indstr2.4 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
1715, 16jaoi 669 . . 3  |-  ( ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph ) )
182, 17sylbi 119 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
191, 18indstr 8814 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805   ` cfv 4952   1c1 7096    < clt 7267   NNcn 8158   2c2 8208   ZZ>=cuz 8752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator