ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz2mulcl Unicode version

Theorem uz2mulcl 8765
Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2mulcl  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )

Proof of Theorem uz2mulcl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8698 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 8698 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 8474 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
5 eluz2b1 8758 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  1  < 
M ) )
6 zre 8425 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
76anim1i 333 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <  M )  -> 
( M  e.  RR  /\  1  <  M ) )
85, 7sylbi 119 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( M  e.  RR  /\  1  < 
M ) )
9 eluz2b1 8758 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
10 zre 8425 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1110anim1i 333 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  RR  /\  1  <  N ) )
129, 11sylbi 119 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  e.  RR  /\  1  < 
N ) )
13 mulgt1 7997 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( 1  < 
M  /\  1  <  N ) )  ->  1  <  ( M  x.  N
) )
1413an4s 553 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  1  <  M )  /\  ( N  e.  RR  /\  1  < 
N ) )  -> 
1  <  ( M  x.  N ) )
158, 12, 14syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( M  x.  N ) )
16 eluz2b1 8758 . 2  |-  ( ( M  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( M  x.  N
) ) )
174, 15, 16sylanbrc 408 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   RRcr 7031   1c1 7033    x. cmul 7037    < clt 7204   2c2 8145   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator