ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elq Unicode version

Theorem elq 8788
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elq
StepHypRef Expression
1 df-q 8786 . . . 4  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
21eleq2i 2146 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) ) )
3 resima 4671 . . . 4  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
43eleq2i 2146 . . 3  |-  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <-> 
A  e.  (  /  " ( ZZ  X.  NN ) ) )
5 divfnzn 8787 . . . 4  |-  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
6 ssid 3019 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( ZZ  X.  NN )
7 ovelimab 5682 . . . 4  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  C_  ( ZZ  X.  NN ) )  ->  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) ) )
85, 6, 7mp2an 417 . . 3  |-  ( A  e.  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) )
92, 4, 83bitr2i 206 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y ) )
10 ovres 5671 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  =  ( x  / 
y ) )
1110eqeq2d 2093 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  <->  A  =  ( x  /  y
) ) )
12112rexbiia 2383 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) y )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
139, 12bitri 182 1  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350    C_ wss 2974    X. cxp 4369    |` cres 4373   "cima 4374    Fn wfn 4927  (class class class)co 5543    / cdiv 7827   NNcn 8106   ZZcz 8432   QQcq 8785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-z 8433  df-q 8786
This theorem is referenced by:  qmulz  8789  znq  8790  qre  8791  zq  8792  qaddcl  8801  qnegcl  8802  qmulcl  8803  qapne  8805  qreccl  8808  qtri3or  9329  qredeu  10623  sqrt2irr  10685  sqrt2irrap  10702
  Copyright terms: Public domain W3C validator