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Theorem sqrt2irr 10685
Description: The square root of 2 is not rational. That is, for any rational number,  ( sqr `  2
) does not equal it. However, if we were to say "the square root of 2 is irrational" that would mean something stronger: "for any rational number, 
( sqr `  2
) is apart from it" (the two statements are equivalent given excluded middle). See sqrt2irrap 10702 for the proof that the square root of two is irrational.

The proof's core is proven in sqrt2irrlem 10684, which shows that if  A  /  B  =  sqr ( 2 ), then 
A and  B are even, so  A  /  2 and  B  /  2 are smaller representatives, which is absurd. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion
Ref Expression
sqrt2irr  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ

Proof of Theorem sqrt2irr
Dummy variables  x  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 8118 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
z  <  n  <->  z  <  1 ) )
32imbi1d 229 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
43ralbidv 2369 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
5 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  (
z  <  n  <->  z  <  y ) )
65imbi1d 229 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  y  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
76ralbidv 2369 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
8 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  n  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
98imbi1d 229 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
109ralbidv 2369 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
11 nnnlt1 8132 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
1211pm2.21d 582 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) ) )
1312rgen 2417 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )
14 nnrp 8824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
15 rphalflt 8844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  /  2 )  <  y )
17 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
z  <  y  <->  ( y  /  2 )  < 
y ) )
18 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
( y  /  2
) ) )
1918neeq2d 2265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  ( y  /  2 ) ) ) )
2019ralbidv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
2117, 20imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( (
y  /  2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
2221rspcv 2698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2322com13 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  2 )  <  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2416, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
25 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )
26 zcn 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2726ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  CC )
28 nncn 8114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2928ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  CC )
30 2cnd 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  e.  CC )
31 nnap0 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
3231ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y #  0 )
33 2ap0 8199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2 #  0
3433a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2 #  0 )
3527, 29, 30, 32, 34divcanap7d 7972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) )  =  ( z  /  y ) )
3625, 35eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) )
37 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  NN )
3937, 38, 25sqrt2irrlem 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  /\  ( y  /  2 )  e.  NN ) )
4039simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  NN )
4139simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( z  / 
2 )  e.  ZZ )
42 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
x  /  ( y  /  2 ) )  =  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) ) )
4342neeq2d 2265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
( z  /  2
)  /  ( y  /  2 ) ) ) )
4443rspcv 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) )  ->  ( sqr `  2 )  =/=  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) ) ) )
4541, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4640, 45embantd 55 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4746necon2bd 2304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( sqr `  2 )  =  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  (
y  /  2 ) ) ) ) )
4836, 47mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  -.  ( (
y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4948ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
5049necon2ad 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( z  /  y ) ) )
5150ralrimdva 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
5224, 51syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
53 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  y )  =  ( z  / 
y ) )
5453neeq2d 2265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
z  /  y ) ) )
5554cbvralv 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  y
)  <->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) )
5652, 55syl6ibr 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y ) ) )
57 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
y ) )
5857neeq2d 2265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  y ) ) )
5958ralbidv 2369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6059ceqsralv 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6156, 60sylibrd 167 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
6261ancld 318 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
63 nnleltp1 8491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
64 nnz 8451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
65 nnz 8451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
66 zleloe 8479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6764, 65, 66syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6863, 67bitr3d 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
6968ancoms 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7069imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  \/  z  =  y )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
71 jaob 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  <  y  \/  z  =  y
)  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7270, 71syl6bb 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
7372ralbidva 2365 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
74 r19.26 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  NN  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) )  <-> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7573, 74syl6bb 194 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) )  /\  A. z  e.  NN  (
z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) ) )
7662, 75sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
774, 7, 10, 10, 13, 76nnind 8122 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
781, 77syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
79 nnre 8113 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
8079ltp1d 8075 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
81 breq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  <->  y  <  ( y  +  1 ) ) )
82 df-ne 2247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
8358, 82syl6bb 194 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
8483ralbidv 2369 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
85 ralnex 2359 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  / 
y )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
8684, 85syl6bb 194 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) )
8781, 86imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( y  <  ( y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8887rspcv 2698 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( y  <  (
y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8978, 80, 88mp2d 46 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9089nrex 2454 . . 3  |-  -.  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y )
91 elq 8788 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
92 rexcom 2519 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
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) )
9391, 92bitri 182 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
9490, 93mtbir 629 . 2  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
9594nelir 2343 1  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246    e/ wnel 2340   A.wral 2349   E.wrex 2350   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   # cap 7748    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   ZZcz 8432   QQcq 8785   RR+crp 8815   sqrcsqrt 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-rsqrt 10022
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