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Theorem fnfi 6478
Description: A version of fnex 5435 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5059 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
21adantr 270 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
3 reseq2 4655 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  (/) ) )
43eleq1d 2151 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  (/) )  e.  Fin )
)
5 reseq2 4655 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  y
) )
65eleq1d 2151 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  y )  e.  Fin ) )
7 reseq2 4655 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
87eleq1d 2151 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
)
9 reseq2 4655 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  A ) )
109eleq1d 2151 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  A )  e.  Fin ) )
11 res0 4664 . . . . 5  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
12 0fin 6440 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1311, 12eqeltri 2155 . . . 4  |-  ( F  |`  (/) )  e.  Fin
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  (/) )  e. 
Fin )
15 resundi 4673 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )
16 simp-4l 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  F  Fn  A
)
17 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1817eldifad 2993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  A
)
19 fnressn 5401 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
2016, 18, 19syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
2120uneq2d 3136 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  =  ( ( F  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
22 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  y )  e.  Fin )
2317elexd 2621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
24 funfvex 5243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
2524funfni 5050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  _V )
2616, 18, 25syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
27 opexg 4011 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V )
2823, 26, 27syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  _V )
2917eldifbd 2994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
30 opeldmg 4588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  _V )  -> 
( <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
3118, 26, 30syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
32 dmres 4680 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  y )  =  ( y  i^i  dom  F )
3332eleq2i 2149 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  ( F  |`  y )  <->  z  e.  ( y  i^i  dom  F ) )
3431, 33syl6ib 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  ( y  i^i  dom  F )
) )
35 elin 3165 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  dom  F ) )
3635simplbi 268 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  -> 
z  e.  y )
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  y ) )
3829, 37mtod 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  <. z ,  ( F `  z
) >.  e.  ( F  |`  y ) )
39 unsnfi 6463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  y
)  e.  Fin  /\  <.
z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V  /\  -.  <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )
)  ->  ( ( F  |`  y )  u. 
{ <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Fin )
4022, 28, 38, 39syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  e.  Fin )
4121, 40eqeltrd 2159 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  e.  Fin )
4215, 41syl5eqel 2169 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4342ex 113 . . 3  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (
( F  |`  y
)  e.  Fin  ->  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  e.  Fin )
)
44 simpr 108 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6448 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  e.  Fin )
462, 45eqeltrrd 2160 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610    \ cdif 2979    u. cun 2980    i^i cin 2981    C_ wss 2982   (/)c0 3267   {csn 3416   <.cop 3419   dom cdm 4391    |` cres 4393    Fn wfn 4947   ` cfv 4952   Fincfn 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6480  fihashf1rn  9865  fihashfn  9876
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