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Theorem indstr 8632
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <  z  <->  y  <  1 ) )
21imbi1d 224 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  1  ->  ps )
) )
32ralbidv 2343 . . 3  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
) )
4 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
y  <  z  <->  y  <  w ) )
54imbi1d 224 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
65ralbidv 2343 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
7 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( w  +  1 ) ) )
87imbi1d 224 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  ( w  +  1 )  ->  ps )
) )
98ralbidv 2343 . . 3  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
10 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
1110imbi1d 224 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  <  z  ->  ps )  <->  ( y  <  x  ->  ps )
) )
1211ralbidv 2343 . . 3  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  z  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
13 nnnlt1 8016 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
1413pm2.21d 559 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  <  1  ->  ps ) )
1514rgen 2391 . . 3  |-  A. y  e.  NN  ( y  <  1  ->  ps )
16 1nn 8001 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 elex2 2587 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  E. u  u  e.  NN )
18 nfra1 2372 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
1918r19.3rm 3338 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps ) )
21 rsp 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
2221com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  <  w  ->  ps ) ) )
2322adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  w  ->  ps ) ) )
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
2524rgen 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
26 nfv 1437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )
27 nfv 1437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )
28 nfsbc1v 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
2927, 28nfim 1480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
30 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
3130imbi1d 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( y  <  x  ->  ps )  <->  ( y  <  w  ->  ps )
) )
3231ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )
) )
33 sbceq1a 2796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
3432, 33imbi12d 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
3526, 29, 34cbvral 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
3625, 35mpbi 137 . . . . . . . . . . 11  |-  A. w  e.  NN  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
3736rspec 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
38 vex 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4038, 39sbcie 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
41 dfsbcq 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
4240, 41syl5bbr 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
4342biimprcd 153 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. w  /  x ]. ph  ->  ( y  =  w  ->  ps ) )
4437, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4544adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  =  w  ->  ps ) ) )
4623, 45jcad 295 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  ->  ps )  /\  ( y  =  w  ->  ps ) ) ) )
47 jaob 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  ->  ps )  /\  (
y  =  w  ->  ps ) ) )
4846, 47syl6ibr 155 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( ( y  < 
w  \/  y  =  w )  ->  ps ) ) )
49 nnleltp1 8361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  y  <  ( w  + 
1 ) ) )
50 nnz 8321 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
51 nnz 8321 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
52 zleloe 8349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5350, 51, 52syl2an 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <_  w  <->  ( y  <  w  \/  y  =  w ) ) )
5449, 53bitr3d 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5554ancoms 259 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  <-> 
( y  <  w  \/  y  =  w
) ) )
5655imbi1d 224 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )  <->  ( ( y  <  w  \/  y  =  w
)  ->  ps )
) )
5748, 56sylibrd 162 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  < 
w  ->  ps )  ->  ( y  <  (
w  +  1 )  ->  ps ) ) )
5857ralimdva 2404 . . . 4  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  A. y  e.  NN  (
y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
5920, 58syl5bi 145 . . 3  |-  ( w  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  w  ->  ps )  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
( w  +  1 )  ->  ps )
) )
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 8006 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
6160, 24mpd 13 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   [.wsbc 2787   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120   NNcn 7990   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  indstr2  8643
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