Theorem indstr 9388

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr.2	|- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem indstr

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3933	. . . . 5 |- ( z = 1 -> ( y < z <-> y < 1 ) )
2	1	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = 1 -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < 1 -> ps ) ) )
3	2	ralbidv 2437	. . 3 |- ( z = 1 -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < 1 -> ps ) ) )
4		breq2 3933	. . . . 5 |- ( z = w -> ( y < z <-> y < w ) )
5	4	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
6	5	ralbidv 2437	. . 3 |- ( z = w -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
7		breq2 3933	. . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( y < z <-> y < ( w + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
9	8	ralbidv 2437	. . 3 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
10		breq2 3933	. . . . 5 |- ( z = x -> ( y < z <-> y < x ) )
11	10	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < x -> ps ) ) )
12	11	ralbidv 2437	. . 3 |- ( z = x -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < x -> ps ) ) )
13		nnnlt1 8746	. . . . 5 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
14	13	pm2.21d 608	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( y < 1 -> ps ) )
15	14	rgen 2485	. . 3 |- A. y e. NN ( y < 1 -> ps )
16		1nn 8731	. . . . 5 |- 1 e. NN
17		elex2 2702	. . . . 5 |- ( 1 e. NN -> E. u u e. NN )
18		nfra1 2466	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. NN ( y < w -> ps )
19	18	r19.3rm 3451	. . . . 5 |- ( E. u u e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
20	16, 17, 19	mp2b 8	. . . 4 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) )
21		rsp 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y e. NN -> ( y < w -> ps ) ) )
22	21	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
23	22	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
24		indstr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
25	24	rgen 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
26		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
27		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x A. y e. NN ( y < w -> ps )
28		nfsbc1v 2927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [. w / x ]. ph
29	27, 28	nfim 1551	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
30		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
31	30	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( y < x -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
32	31	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
33		sbceq1a 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
34	32, 33	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
35	26, 29, 34	cbvral 2650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
36	25, 35	mpbi 144	. . . . . . . . . . 11 |- A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
37	36	rspec 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
38		vex 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
39		indstr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	38, 39	sbcie 2943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. y / x ]. ph <-> ps )
41		dfsbcq 2911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( [. y / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
42	40, 41	syl5bbr 193	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / x ]. ph ) )
43	42	biimprcd 159	. . . . . . . . . 10 |- ( [. w / x ]. ph -> ( y = w -> ps ) )
44	37, 43	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
46	23, 45	jcad 305	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) ) )
47		jaob 699	. . . . . . 7 |- ( ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) <-> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) )
48	46, 47	syl6ibr 161	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
49		nnleltp1 9113	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> y < ( w + 1 ) ) )
50		nnz 9073	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
51		nnz 9073	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
52		zleloe 9101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
53	50, 51, 52	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
54	49, 53	bitr3d 189	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
55	54	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
56	55	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y < ( w + 1 ) -> ps ) <-> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
57	48, 56	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
58	57	ralimdva 2499	. . . 4 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
59	20, 58	syl5bi 151	. . 3 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
60	3, 6, 9, 12, 15, 59	nnind 8736	. 2 |- ( x e. NN -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
61	60, 24	mpd 13	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   [.wsbc 2909   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  indstr2  9403