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Theorem isotilem 6513
Description: Lemma for isoti 6514. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isotilem  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v, x, y    u, F, v, x, y    u, R, v    u, S, v, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    R( x, y)

Proof of Theorem isotilem
StepHypRef Expression
1 isof1o 5498 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5177 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
3 ffvelrn 5352 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  u  e.  A )  ->  ( F `  u
)  e.  B )
43ex 113 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( u  e.  A  ->  ( F `  u
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 5352 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  v  e.  A )  ->  ( F `  v
)  e.  B )
65ex 113 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( v  e.  A  ->  ( F `  v
)  e.  B ) )
74, 6anim12d 328 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) ) )
81, 2, 73syl 17 . . . . 5  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) ) )
98imp 122 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( F `  u )  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B ) )
10 eqeq1 2089 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
x  =  y  <->  ( F `  u )  =  y ) )
11 breq1 3808 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
x S y  <->  ( F `  u ) S y ) )
1211notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  ( -.  x S y  <->  -.  ( F `  u ) S y ) )
13 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
y S x  <->  y S
( F `  u
) ) )
1413notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S ( F `  u ) ) )
1512, 14anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  ( F `  u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) ) )
1610, 15bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  u )  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  y  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) ) ) )
17 eqeq2 2092 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  u
)  =  y  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
18 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  u
) S y  <->  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
1918notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  ( -.  ( F `  u
) S y  <->  -.  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
20 breq1 3808 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
y S ( F `
 u )  <->  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
2120notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  ( -.  y S ( F `
 u )  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
2219, 21anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) )  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) )
2317, 22bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  v )  ->  (
( ( F `  u )  =  y  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S y  /\  -.  y S ( F `  u ) ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
2416, 23rspc2v 2721 . . . 4  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  B  /\  ( F `  v )  e.  B )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( ( F `
 u )  =  ( F `  v
)  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
259, 24syl 14 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( ( F `
 u )  =  ( F `  v
)  <->  ( -.  ( F `  u ) S ( F `  v )  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
26 f1of1 5176 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -1-1-> B )
271, 26syl 14 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-> B )
28 f1fveq 5463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
2927, 28sylan 277 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <->  u  =  v ) )
3029bicomd 139 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( u  =  v  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
31 isorel 5499 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( u R v  <->  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
3231notbid 625 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( -.  u R v  <->  -.  ( F `  u ) S ( F `  v ) ) )
33 isorel 5499 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
v  e.  A  /\  u  e.  A )
)  ->  ( v R u  <->  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3433notbid 625 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
v  e.  A  /\  u  e.  A )
)  ->  ( -.  v R u  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3534ancom2s 531 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( -.  v R u  <->  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) )
3632, 35anbi12d 457 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( ( -.  u R v  /\  -.  v R u )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) )
3730, 36bibi12d 233 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( (
u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <-> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
( -.  ( F `
 u ) S ( F `  v
)  /\  -.  ( F `  v ) S ( F `  u ) ) ) ) )
3825, 37sylibrd 167 . 2  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
3938ralrimdvva 2451 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805   -->wf 4948   -1-1->wf1 4949   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952    Isom wiso 4953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961
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