Theorem isumss2 11162

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set A and the added zeroes compose the rest of the containing set B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	|- ( ph -> A C_ B )
isumss2.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
isumss2.c	|- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
isumss2.b	|- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
isumss2	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Distinct variable groups:   A, j   A, k   B, j   B, k   j, M

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   C( j, k)   M( k)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables a m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A C_ B )
3		isumss2.c	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
4		iftrue 3479	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
6		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
7	6	nfel1 2292	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
8		csbeq1a 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
9	8	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
10	7, 9	rspc 2783	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
11	10	impcom 124	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
12	5, 11	eqeltrd 2216	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
13	3, 12	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
14	13	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
15		eldifn 3199	. . . . . 6 |- ( m e. ( B \ A ) -> -. m e. A )
16	15	iffalsed 3484	. . . . 5 |- ( m e. ( B \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
17	16	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
20		eleq1w 2200	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
21	20	dcbid 823	. . . . . . . . . 10 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
22	21	cbvralv 2654	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. B DECID j e. A <-> A. a e. B DECID a e. A )
23	19, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. B DECID a e. A )
24	23	r19.21bi 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
25	24	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
26	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
27	26	ssneld 3099	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. a e. B -> -. a e. A ) )
28	27	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> -. a e. A )
29	28	olcd 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
30		df-dc 820	. . . . . . 7 |- (DECID a e. A <-> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
31	29, 30	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> DECID a e. A )
32		eleq1w 2200	. . . . . . . . 9 |- ( j = a -> ( j e. B <-> a e. B ) )
33	32	dcbid 823	. . . . . . . 8 |- ( j = a -> (DECID j e. B <-> DECID a e. B ) )
34		simplr3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
35		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 34, 35	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. B )
37		exmiddc 821	. . . . . . 7 |- (DECID a e. B -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
39	25, 31, 38	mpjaodan 787	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
40	39	ralrimiva 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
41		simpr1 987	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> M e. ZZ )
42		simpr2 988	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
43		simpr3 989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
44	33	cbvralv 2654	. . . . 5 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
45	43, 44	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11160	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
47	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A C_ B )
48	13	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
49	16	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
50	18	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A. j e. B DECID j e. A )
51		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11161	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
53		isumss2.b	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )
54	46, 52, 53	mpjaodan 787	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
55		iftrue 3479	. . . 4 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
56	55	sumeq2i 11133	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ k e. A C
57		nfcv 2281	. . . 4 |- F/_ m if ( k e. A , C , 0 )
58		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ k m e. A
59		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ k 0
60	58, 6, 59	nfif 3500	. . . 4 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
61		eleq1w 2200	. . . . 5 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
62	61, 8	ifbieq1d 3494	. . . 4 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
63	57, 60, 62	cbvsumi 11131	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
64	56, 63	eqtr3i 2162	. 2 |- sum_ k e. A C = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
65	57, 60, 62	cbvsumi 11131	. 2 |- sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2197	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003   \ cdif 3068   C_ wss 3071   ifcif 3474   ` cfv 5123   Fincfn 6634   CCcc 7618   0cc0 7620   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11176  sumsplitdc  11201  isumlessdc  11265