Theorem isumss 11163

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
isumss.adc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
isumss.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumss.4	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
isumss.bdc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
isumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k, j   B, k, j   C, j   j, M, k   ph, k, j

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		isumss.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
4		sumss.4	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	sstrd 3107	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
7		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
9	8	ralrimiva 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
10	9	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A C e. CC )
11		nfcsb1v 3035	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
12	11	nfel1 2292	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
13		csbeq1a 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
14	13	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2783	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
17		0cnd 7762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
18		eleq1w 2200	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
19	18	dcbid 823	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
22	19, 21, 6	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
23	16, 17, 22	ifcldadc 3501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
24		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ k m
25		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
26		nfcv 2281	. . . . . . . 8 |- F/_ k 0
27	25, 11, 26	nfif 3500	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
28		eleq1w 2200	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
29	28, 13	ifbieq1d 3494	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
30		eqid 2139	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) )
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5513	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
32	6, 23, 31	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
33		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
34	33	fvmpts 5499	. . . . . . 7 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
35	7, 16, 34	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
36	35, 22	ifeq1dadc 3502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
37	32, 36	eqtr4d 2175	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
38	8	fmpttd 5575	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
39	38	ffvelrnda 5555	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11156	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
41		elin 3259	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( B i^i A ) <-> ( m e. B /\ m e. A ) )
42		dfss1 3280	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
43	3, 42	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
44	43	eleq2d 2209	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( B i^i A ) <-> m e. A ) )
45	41, 44	syl5rbbr 194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
46	45	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
47	46	ifbid 3493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
48		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. B )
49	16	adantlr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
50		eqid 2139	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
51	50	fvmpts 5499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
52	48, 49, 51	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
53		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. A )
54	53	iftrued 3481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
55	52, 54	eqtr4d 2175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
56		simplr 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. B )
57		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> -. m e. A )
58	56, 57	eldifd 3081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. ( B \ A ) )
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
60	59	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
61	60	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
62	11	nfeq1 2291	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 0
63	13	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( C = 0 <-> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
64	62, 63	rspc 2783	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 0 -> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C = 0 )
66		0cnd 7762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
67	65, 66	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
68	56, 67, 51	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
69	57	iffalsed 3484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
71	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
72		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
74	55, 70, 73	mpjaodan 787	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
75		eleq1w 2200	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
76	75	dcbid 823	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
78	77	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
79	76, 78, 6	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
80	74, 79	ifeq1dadc 3502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
81		ifandc 3508	. . . . . . 7 |- (DECID m e. B -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
83	80, 82	eqtr4d 2175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2182	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
85	8	adantlr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
86		simpll 518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
87		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
88		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
89	87, 88	eldifd 3081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
90	86, 89, 59	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
91		0cnd 7762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
92	90, 91	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
93		eleq1w 2200	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
94	93	dcbid 823	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
95	20	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
96	4	sselda 3097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
97	94, 95, 96	rspcdva 2794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
98		exmiddc 821	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
100	85, 92, 99	mpjaodan 787	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
101	100	fmpttd 5575	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
102	101	ffvelrnda 5555	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11156	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
104	40, 103	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfct 11146	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
106	9, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
107	100	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
108		sumfct 11146	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
109	107, 108	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2180	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   [_csb 3003   \ cdif 3068   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123   CCcc 7621   0cc0 7623   + caddc 7626   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329   seqcseq 10221   ~~> cli 11050   sum_csu 11125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-ihash 10525  df-cj 10617  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126

This theorem is referenced by:  fisumss  11164  isumss2  11165  binomlem  11255