ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg Unicode version

Theorem mulcomsrg 6899
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6869 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 mulsrpr 6888 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  )
3 mulsrpr 6888 . 2  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  .R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) ,  ( ( z  .P.  y )  +P.  (
w  .P.  x )
) >. ]  ~R  )
4 mulcomprg 6735 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  .P.  z
)  =  ( z  .P.  x ) )
54ad2ant2r 486 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  z )  =  ( z  .P.  x ) )
6 mulcomprg 6735 . . . 4  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  .P.  w
)  =  ( w  .P.  y ) )
76ad2ant2l 485 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  w )  =  ( w  .P.  y ) )
85, 7oveq12d 5557 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  =  ( ( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) )
9 mulcomprg 6735 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( x  .P.  w
)  =  ( w  .P.  x ) )
109ad2ant2rl 488 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  w )  =  ( w  .P.  x ) )
11 mulcomprg 6735 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  .P.  z
)  =  ( z  .P.  y ) )
1211ad2ant2lr 487 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  z )  =  ( z  .P.  y ) )
1310, 12oveq12d 5557 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( w  .P.  x
)  +P.  ( z  .P.  y ) ) )
14 mulclpr 6727 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1514ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1615ad2ant2rl 488 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( w  .P.  x )  e.  P. )
17 mulclpr 6727 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1817ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1918ad2ant2lr 487 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( z  .P.  y )  e.  P. )
20 addcomprg 6733 . . . 4  |-  ( ( ( w  .P.  x
)  e.  P.  /\  ( z  .P.  y
)  e.  P. )  ->  ( ( w  .P.  x )  +P.  (
z  .P.  y )
)  =  ( ( z  .P.  y )  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2116, 19, 20syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
w  .P.  x )  +P.  ( z  .P.  y
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2213, 21eqtrd 2088 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6244 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409  (class class class)co 5539   P.cnp 6446    +P. cpp 6448    .P. cmp 6449    ~R cer 6451   R.cnr 6452    .R cmr 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-iplp 6623  df-imp 6624  df-enr 6868  df-nr 6869  df-mr 6871
This theorem is referenced by:  mulresr  6971  axmulcom  7002  axmulass  7004  axcnre  7012
  Copyright terms: Public domain W3C validator