Theorem mullocpr 7379

Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both A and B are positive, not just A). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mullocpr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, q, r

Proof of Theorem mullocpr

Dummy variables d e t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7283	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
2		prmuloc 7374	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
3	1, 2	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) )
4		r2ex 2455	. . . . . . 7 |- ( E. d e. Q. E. u e. Q. ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) <-> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
5	3, 4	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
6	5	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
7	6	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) )
8		simprr3 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) )
9		simprl 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
10		mulclnq 7184	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
12		appdivnq 7371	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. e e. Q. ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
14		simprrr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
15	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d .Q u ) e. Q. )
16		appdivnq 7371	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) /\ ( d .Q u ) e. Q. ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> E. t e. Q. ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) )
18		simplll 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
19	18	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
20		simprl 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
21	20	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) )
22		simprrl 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) )
23		simprrr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) )
24		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
25	24	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ r e. Q. ) )
26	9	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. Q. /\ u e. Q. ) )
27		3simpa 978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
28	27	ad2antll 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
29	28	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) ) )
30		simplrl 524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> e e. Q. )
31		simprl 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> t e. Q. )
32	30, 31	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( e e. Q. /\ t e. Q. ) )
33	19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32	mullocprlem 7378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( t e. Q. /\ ( ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( t .Q ( d .Q u ) ) /\ ( t .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	17, 33	rexlimddv 2554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) /\ ( e e. Q. /\ ( ( u .Q q ) <Q ( e .Q ( d .Q u ) ) /\ ( e .Q ( d .Q u ) ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
35	13, 34	rexlimddv 2554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) /\ ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
36	35	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
37	36	exlimdvv 1869	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( E. d E. u ( ( d e. Q. /\ u e. Q. ) /\ ( d e. ( 1st ` A ) /\ u e. ( 2nd ` A ) /\ ( u .Q q ) <Q ( d .Q r ) ) ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
38	7, 37	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ q <Q r ) -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
39	38	ex 114	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( q e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )
40	39	ralrimivva 2514	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   /\ w3a 962   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7088   .Q cmq 7091   <Q cltq 7093   P.cnp 7099   .P. cmp 7102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-imp 7277

This theorem is referenced by:  mulclpr  7380