Theorem nnnq0lem1 7254

Description: Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7257 and mulnnnq0 7258. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref

Expression

nnnq0lem1

|- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h

Allowed substitution hints:   C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)   D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7243	. . . . . 6 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2		erdm 6439	. . . . . 6 |- ( ~Q0 Er ( om X. N. ) -> dom ~Q0 = ( om X. N. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ~Q0 = ( om X. N. )
4		simpll 518	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		simplll 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
6	5	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
8	4, 7	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
9		ecelqsdm 6499	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
11		opelxp 4569	. . . 4 |- ( <. w , v >. e. ( om X. N. ) <-> ( w e. om /\ v e. N. ) )
12	10, 11	sylib 121	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
13		simprll 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
14	13	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
15	14	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
16	4, 15	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17		ecelqsdm 6499	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
18	3, 16, 17	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
19		opelxp 4569	. . . 4 |- ( <. s , f >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ f e. N. ) )
20	18, 19	sylib 121	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( s e. om /\ f e. N. ) )
21	12, 20	jca 304	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) )
22		simplr 519	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
23		simpllr 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. u , t >. ] ~Q0 )
24	23	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
25	24	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
26	22, 25	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27		ecelqsdm 6499	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
28	3, 26, 27	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
29		opelxp 4569	. . . 4 |- ( <. u , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( u e. om /\ t e. N. ) )
30	28, 29	sylib 121	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u e. om /\ t e. N. ) )
31		simprlr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
32	31	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
34	22, 33	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
35		ecelqsdm 6499	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
36	3, 34, 35	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
37		opelxp 4569	. . . 4 |- ( <. g , h >. e. ( om X. N. ) <-> ( g e. om /\ h e. N. ) )
38	36, 37	sylib 121	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( g e. om /\ h e. N. ) )
39	30, 38	jca 304	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) )
40	5, 13	eqtr3d 2174	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
41	40	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
42	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
43	42, 10	erth 6473	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
44	41, 43	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. )
45		enq0breq 7244	. . . . 5 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
46	12, 20, 45	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
47	44, 46	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w .o f ) = ( v .o s ) )
48	23, 31	eqtr3d 2174	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
49	48	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
50	42, 28	erth 6473	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
51	49, 50	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. )
52		enq0breq 7244	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
53	30, 38, 52	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
54	51, 53	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u .o h ) = ( t .o g ) )
55	47, 54	jca 304	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
56	21, 39, 55	jca31 307	1 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   omcom 4504   X. cxp 4537   dom cdm 4539  (class class class)co 5774   .o comu 6311   Er wer 6426   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7080   ~_Q0 ceq0 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-enq0 7232

This theorem is referenced by:  addnq0mo  7255  mulnq0mo  7256