ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq0lem1 Unicode version

Theorem nnnq0lem1 6687
Description: Decomposing non-negative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 6690 and mulnnnq0 6691. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnnq0lem1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   
z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h
Allowed substitution hints:    C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)    D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1
StepHypRef Expression
1 enq0er 6676 . . . . . 6  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
2 erdm 6175 . . . . . 6  |-  ( ~Q0  Er  ( om  X.  N. )  ->  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. ) )
31, 2ax-mp 7 . . . . 5  |-  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )
4 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 simplll 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
65eleq1d 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
84, 7mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
9 ecelqsdm 6235 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. )
)
103, 8, 9sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
11 opelxp 4394 . . . 4  |-  ( <.
w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
1210, 11sylib 120 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
13 simprll 504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
1413eleq1d 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
1514adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
164, 15mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
17 ecelqsdm 6235 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. )
)
183, 16, 17sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 opelxp 4394 . . . 4  |-  ( <.
s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2018, 19sylib 120 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2112, 20jca 300 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
) )
22 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
23 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )
2423eleq1d 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2524adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2622, 25mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
27 ecelqsdm 6235 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. )
)
283, 26, 27sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) )
29 opelxp 4394 . . . 4  |-  ( <.
u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
3028, 29sylib 120 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
31 simprlr 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
3231eleq1d 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3332adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3422, 33mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
35 ecelqsdm 6235 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
363, 34, 35sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
37 opelxp 4394 . . . 4  |-  ( <.
g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3836, 37sylib 120 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3930, 38jca 300 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( u  e. 
om  /\  t  e.  N. )  /\  (
g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )
405, 13eqtr3d 2116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  )
4140adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
421a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
4342, 10erth 6209 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  ) )
4441, 43mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >. ~Q0  <. s ,  f >. )
45 enq0breq 6677 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( <. w ,  v >. ~Q0 
<. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4612, 20, 45syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4744, 46mpbid 145 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s ) )
4823, 31eqtr3d 2116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
4948adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
5042, 28erth 6209 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  ) )
5149, 50mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >. ~Q0  <. g ,  h >. )
52 enq0breq 6677 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( <. u ,  t >. ~Q0 
<. g ,  h >.  <->  (
u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5330, 38, 52syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5451, 53mpbid 145 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) )
5547, 54jca 300 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5621, 39, 55jca31 302 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3403   class class class wbr 3787   omcom 4333    X. cxp 4363   dom cdm 4365  (class class class)co 5537    .o comu 6057    Er wer 6162   [cec 6163   /.cqs 6164   N.cnpi 6513   ~Q0 ceq0 6527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-enq0 6665
This theorem is referenced by:  addnq0mo  6688  mulnq0mo  6689
  Copyright terms: Public domain W3C validator