ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version

Theorem mulcanenq0ec 6601
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 6591 . . 3  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
3 pinn 6465 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
433ad2ant1 936 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  A  e.  om )
5 simp2 916 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  B  e.  om )
6 pinn 6465 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
763ad2ant3 938 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  om )
8 nnmcom 6099 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
98adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
10 nnmass 6097 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
1110adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  z )  =  ( x  .o  (
y  .o  z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5709 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) )
13 nnmcl 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
143, 13sylan 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
15 mulpiord 6473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
16 mulclpi 6484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
1715, 16eqeltrrd 2131 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  C
)  e.  N. )
1814, 17anim12i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  C )  e.  N. ) )
19 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2019an4s 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2118, 20jca 294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
22213impdi 1201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
23 enq0breq 6592 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0 
<. B ,  C >.  <->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .o  B
) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0  <. B ,  C >. 
<->  ( ( A  .o  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2512, 24mpbird 160 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C
) >. ~Q0  <. B ,  C >. )
262, 25erthi 6183 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792   omcom 4341    X. cxp 4371  (class class class)co 5540    .o comu 6030    Er wer 6134   [cec 6135   N.cnpi 6428    .N cmi 6430   ~Q0 ceq0 6442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq0 6580
This theorem is referenced by:  nnanq0  6614  distrnq0  6615
  Copyright terms: Public domain W3C validator