ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version
Theorem mulcanenq0ec 7253
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7243 . . 3 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
21a1i 9 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3 pinn 7117 . . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
433ad2ant1 1002 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> A e. om )
5 simp2 982 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> B e. om )
6 pinn 7117 . . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
763ad2ant3 1004 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> C e. om )
8 nnmcom 6385 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
98adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
10 nnmass 6383 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
1110adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5951 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) )
13 nnmcl 6377 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
143, 13sylan 281 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
15 mulpiord 7125 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
16 mulclpi 7136 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
1715, 16eqeltrrd 2217 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o C ) e. N. )
1814, 17anim12i 336 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) )
19 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2019an4s 577 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2118, 20jca 304 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
22213impdi 1271 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
23 enq0breq 7244 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2512, 24mpbird 166 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. )
262, 25erthi 6475 1 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   omcom 4504   X. cxp 4537  (class class class)co 5774   .o comu 6311   Er wer 6426   [cec 6427   N.cnpi 7080   .N cmi 7082   ~Q0 ceq0 7094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-ni 7112  df-mi 7114  df-enq0 7232
This theorem is referenced by:  nnanq0  7266  distrnq0  7267
  Copyright terms: Public domain W3C validator