ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq Unicode version

Theorem nnnq 6663
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 6556 . . . 4  |-  1o  e.  N.
2 opelxpi 4396 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. A ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
31, 2mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. A ,  1o >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
4 enqex 6601 . . . 4  |-  ~Q  e.  _V
54ecelqsi 6219 . . 3  |-  ( <. A ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
63, 5syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7 df-nqqs 6589 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
86, 7syl6eleqr 2173 1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   <.cop 3403    X. cxp 4363   1oc1o 6052   [cec 6163   /.cqs 6164   N.cnpi 6513    ~Q ceq 6520   Q.cnq 6521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-1o 6059  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-enq 6588  df-nqqs 6589
This theorem is referenced by:  recnnpr  6789  nnprlu  6794  archrecnq  6904  archrecpr  6905  caucvgprlemnkj  6907  caucvgprlemnbj  6908  caucvgprlemm  6909  caucvgprlemopl  6910  caucvgprlemlol  6911  caucvgprlemloc  6916  caucvgprlemladdfu  6918  caucvgprlemladdrl  6919  caucvgprprlemloccalc  6925  caucvgprprlemnkltj  6930  caucvgprprlemnkeqj  6931  caucvgprprlemnjltk  6932  caucvgprprlemml  6935  caucvgprprlemopl  6938  caucvgprprlemlol  6939  caucvgprprlemloc  6944  caucvgprprlemexb  6948  caucvgprprlem1  6950  caucvgprprlem2  6951  pitonnlem2  7066  ltrennb  7073  recidpipr  7075
  Copyright terms: Public domain W3C validator