Theorem nnnq 7230

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	|- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7123	. . . 4 |- 1o e. N.
2		opelxpi 4571	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. N. -> <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
4		enqex 7168	. . . 4 |- ~Q e. _V
5	4	ecelqsi 6483	. . 3 |- ( <. A , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
7		df-nqqs 7156	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2233	1 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   <.cop 3530   X. cxp 4537   1oc1o 6306   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7080   ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-1o 6313  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-enq 7155  df-nqqs 7156

This theorem is referenced by:  recnnpr  7356  nnprlu  7361  archrecnq  7471  archrecpr  7472  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemopl  7477  caucvgprlemlol  7478  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprprlemloccalc  7492  caucvgprprlemnkltj  7497  caucvgprprlemnkeqj  7498  caucvgprprlemnjltk  7499  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemexb  7515  caucvgprprlem1  7517  caucvgprprlem2  7518  pitonnlem2  7655  ltrennb  7662  recidpipr  7664