Theorem apsym 7390

Description: Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apsym	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A # B ↔ B # A))

Proof of Theorem apsym

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6821	. . 3 ⊢ (B ∈ ℂ → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
2	1	adantl 262	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)))
3		cnre 6821	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
4	3	ad3antrrr 461	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
5		simplrl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → x ∈ ℝ)
6		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → z ∈ ℝ)
7	6	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → z ∈ ℝ)
8		reaplt 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (x # z ↔ (x < z ∨ z < x)))
9	5, 7, 8	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (x # z ↔ (x < z ∨ z < x)))
10		reaplt 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (z # x ↔ (z < x ∨ x < z)))
11	7, 5, 10	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (z # x ↔ (z < x ∨ x < z)))
12		orcom 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x < z ∨ z < x) ↔ (z < x ∨ x < z))
13	11, 12	syl6bbr 187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (z # x ↔ (x < z ∨ z < x)))
14	9, 13	bitr4d 180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (x # z ↔ z # x))
15		simplrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → y ∈ ℝ)
16		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → w ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → w ∈ ℝ)
18		reaplt 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (y # w ↔ (y < w ∨ w < y)))
19	15, 17, 18	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (y # w ↔ (y < w ∨ w < y)))
20		reaplt 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (w # y ↔ (w < y ∨ y < w)))
21	17, 15, 20	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (w # y ↔ (w < y ∨ y < w)))
22		orcom 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y < w ∨ w < y) ↔ (w < y ∨ y < w))
23	21, 22	syl6bbr 187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (w # y ↔ (y < w ∨ w < y)))
24	19, 23	bitr4d 180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (y # w ↔ w # y))
25	14, 24	orbi12d 706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x # z ∨ y # w) ↔ (z # x ∨ w # y)))
26		apreim 7387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
27	5, 15, 7, 17, 26	syl22anc 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z ∨ y # w)))
28		apreim 7387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((z + (i · w)) # (x + (i · y)) ↔ (z # x ∨ w # y)))
29	7, 17, 5, 15, 28	syl22anc 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) # (x + (i · y)) ↔ (z # x ∨ w # y)))
30	25, 27, 29	3bitr4d 209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (z + (i · w)) # (x + (i · y))))
31		simpr 103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
32		simpllr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
33	31, 32	breq12d 3768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
34	32, 31	breq12d 3768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (B # A ↔ (z + (i · w)) # (x + (i · y))))
35	30, 33, 34	3bitr4d 209	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ B # A))
36	35	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ B # A)))
37	36	rexlimdvva 2434	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ B # A)))
38	4, 37	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) ∧ B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ B # A))
39	38	ex 108	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ B # A)))
40	39	rexlimdvva 2434	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (∃z ∈ ℝ ∃w ∈ ℝ B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ B # A)))
41	2, 40	mpd 13	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A # B ↔ B # A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716   < clt 6857   # cap 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366

This theorem is referenced by:  addext  7394  mulext  7398  recgt0  7597  prodgt0  7599