Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1 GIF version

Theorem decmul1 8621
 Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 10nn0 8575 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 8561 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2102 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 0nn0 8370 . . 3 0 ∈ ℕ0
103, 2nn0mulcli 8393 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 8367 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 7317 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13 decmul1.c . . . 4 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
1412, 13eqtri 2102 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15 decmul1.d . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1615oveq2i 5554 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
174, 2nn0mulcli 8393 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1817nn0cni 8367 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1918addid2i 7318 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
201nn0cni 8367 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2120mul01i 7562 . . . . . 6 (10 · 0) = 0
2221eqcomi 2086 . . . . 5 0 = (10 · 0)
2322oveq1i 5553 . . . 4 (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
2416, 19, 233eqtr3i 2110 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
251, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24nummul1c 8606 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26 dfdec10 8561 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2725, 26eqtr4i 2105 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5543  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  ℕ0cn0 8355  ;cdc 8558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-5 8168  df-6 8169  df-7 8170  df-8 8171  df-9 8172  df-n0 8356  df-dec 8559 This theorem is referenced by:  sq10  9737
 Copyright terms: Public domain W3C validator