ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1c GIF version

Theorem decmul1c 8461
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e 𝐸 ∈ ℕ0
decmul1c.c ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
decmul1c.2 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1c (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 8414 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 8400 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2074 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 decmul1c.e . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
10 decmul1c.c . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
11 decmul1c.2 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = 𝐸𝐷
12 dfdec10 8400 . . . 4 𝐸𝐷 = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
1311, 12eqtri 2074 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 𝐸) + 𝐷)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 8445 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
15 dfdec10 8400 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
1614, 15eqtr4i 2077 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1257  wcel 1407  (class class class)co 5537  0cc0 6917  1c1 6918   + caddc 6920   · cmul 6922  0cn0 8209  cdc 8397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-sub 7217  df-inn 7961  df-2 8019  df-3 8020  df-4 8021  df-5 8022  df-6 8023  df-7 8024  df-8 8025  df-9 8026  df-n0 8210  df-dec 8398
This theorem is referenced by:  ex-fac  10224
  Copyright terms: Public domain W3C validator