ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrealeu GIF version

Theorem elrealeu 6964
Description: The real number mapping in elreal 6963 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
elrealeu (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6963 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
21biimpi 117 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3 eqtr3 2075 . . . . . . . 8 ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4 0r 6893 . . . . . . . . . 10 0RR
5 opthg 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑥R ∧ 0RR) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
64, 5mpan2 409 . . . . . . . . 9 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
76ad2antlr 466 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
83, 7syl5ib 147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9 simpl 106 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
108, 9syl6 33 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1110ralrimiva 2409 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) → ∀𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1211ralrimiva 2409 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥R𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13 opeq1 3577 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
1413eqeq1d 2064 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
1514rmo4 2757 . . . 4 (∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥R𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1612, 15sylibr 141 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17 reu5 2539 . . 3 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
182, 16, 17sylanbrc 402 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19 reurex 2540 . . 3 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2019, 1sylibr 141 . 2 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴𝐴 ∈ ℝ)
2118, 20impbii 121 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  ∃!wreu 2325  ∃*wrmo 2326  cop 3406  Rcnr 6453  0Rc0r 6454  cr 6946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-enr 6869  df-nr 6870  df-0r 6874  df-r 6957
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7027  axcaucvglemval  7029
  Copyright terms: Public domain W3C validator