Theorem elrealeu 7644

Description: The real number mapping in elreal 7643 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7643	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3		eqtr3 2159	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4		0r 7565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0R ∈ R
5		opthg 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
6	4, 5	mpan2 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
7	6	ad2antlr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
8	3, 7	syl5ib 153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	ralrimiva 2505	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) → ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	ralrimiva 2505	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13		opeq1 3705	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
14	13	eqeq1d 2148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
15	14	rmo4 2877	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
16	12, 15	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17		reu5 2643	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
18	2, 16, 17	sylanbrc 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19		reurex 2644	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
20	19, 1	sylibr 133	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 20	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ∃!wreu 2418  ∃*wrmo 2419  ⟨cop 3530  Rcnr 7112  0_Rc0r 7113  ℝcr 7626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-enr 7541  df-nr 7542  df-0r 7546  df-r 7637

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7710  axcaucvglemval  7712