ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  endisj GIF version

Theorem endisj 6329
Description: Any two sets are equinumerous to disjoint sets. Exercise 4.39 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 16-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
endisj.1 𝐴 ∈ V
endisj.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
endisj 𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem endisj
StepHypRef Expression
1 endisj.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 0ex 3912 . . . 4 ∅ ∈ V
31, 2xpsnen 6326 . . 3 (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴
4 endisj.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
5 1on 6039 . . . . 5 1𝑜 ∈ On
65elexi 2584 . . . 4 1𝑜 ∈ V
74, 6xpsnen 6326 . . 3 (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵
83, 7pm3.2i 261 . 2 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9 xp01disj 6048 . 2 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
10 p0ex 3967 . . . 4 {∅} ∈ V
111, 10xpex 4481 . . 3 (𝐴 × {∅}) ∈ V
126snex 3965 . . . 4 {1𝑜} ∈ V
134, 12xpex 4481 . . 3 (𝐵 × {1𝑜}) ∈ V
14 breq1 3795 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 × {∅}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴))
15 breq1 3795 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵 × {1𝑜}) → (𝑦𝐵 ↔ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵))
1614, 15bi2anan9 548 . . . 4 ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1𝑜})) → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ↔ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)))
17 ineq12 3161 . . . . 5 ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1𝑜})) → (𝑥𝑦) = ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})))
1817eqeq1d 2064 . . . 4 ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1𝑜})) → ((𝑥𝑦) = ∅ ↔ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅))
1916, 18anbi12d 450 . . 3 ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1𝑜})) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ (((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅)))
2011, 13, 19spc2ev 2665 . 2 ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
218, 9, 20mp2an 410 1 𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  Vcvv 2574  cin 2944  c0 3252  {csn 3403   class class class wbr 3792  Oncon0 4128   × cxp 4371  1𝑜c1o 6025  cen 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-1o 6032  df-en 6253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator