Theorem exp3vallem 10294

Description: Lemma for exp3val 10295. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp3vallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
exp3vallem.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
exp3vallem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
exp3vallem	⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem exp3vallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp3vallem.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	2	breq1d 3939	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)))
5		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6	5	breq1d 3939	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)))
8		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
9	8	breq1d 3939	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
11		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
12	11	breq1d 3939	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑤) # 0) ↔ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)))
14		1zzd 9081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		exp3vallem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		elnnuz 9362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
17	16	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑥 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 5634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
19	15, 17, 18	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
20	15	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	eqeltrd 2216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
22		mulcl 7747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	14, 21, 23	seq3-1 10233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
25		1nn 8731	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		fvconst2g 5634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
27	15, 25, 26	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
28	24, 27	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = 𝐴)
29		exp3vallem.ap	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	28, 29	eqbrtrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) # 0)
31		nnuz 9361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	16, 21	sylan2b 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
33	31, 14, 32, 23	seqf 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
34	33	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → seq1( · , (ℕ × {𝐴})):ℕ⟶ℂ)
35		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	34, 35	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) ∈ ℂ)
38	15	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0)
40	29	ad2antlr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
41	37, 38, 39, 40	mulap0d 8419	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0)
42		elnnuz 9362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43	42	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
45	21	adantll 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
46	22	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	seq3p1 10235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
48	35	peano2nnd 8735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
49		fvconst2g 5634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
50	15, 48, 49	syl2an2 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
51	50	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
52	47, 51	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴))
53	52	breq1d 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
54	53	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) · 𝐴) # 0))
55	41, 54	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)
56	55	exp31 361	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
57	56	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) # 0) → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) # 0)))
58	4, 7, 10, 13, 30, 57	nnind 8736	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0))
59	1, 58	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   # cap 8343  ℕcn 8720  ℤ_≥cuz 9326  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  exp3val  10295