ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprecap GIF version

Theorem exprecap 9700
Description: Nonnegative integer exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
exprecap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem exprecap
StepHypRef Expression
1 expclzap 9684 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2 recclap 7920 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
323adant3 959 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4 recap0 7926 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
543adant3 959 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / 𝐴) # 0)
6 simp3 941 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 expclzap 9684 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
83, 5, 6, 7syl3anc 1170 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
9 expap0i 9691 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) # 0)
10 simp1 939 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simp2 940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 # 0)
1210, 11recidapd 8024 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
1312oveq1d 5584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
14 mulexpzap 9699 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
1510, 11, 3, 5, 6, 14syl221anc 1181 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
16 1exp 9688 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
176, 16syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) = 1)
1813, 15, 173eqtr3d 2123 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)) = 1)
191, 8, 9, 18mvllmulapd 8074 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5569  cc 7127  0cc0 7129  1c1 7130   · cmul 7134   # cap 7834   / cdiv 7913  cz 8518  cexp 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-iinf 4360  ax-cnex 7215  ax-resscn 7216  ax-1cn 7217  ax-1re 7218  ax-icn 7219  ax-addcl 7220  ax-addrcl 7221  ax-mulcl 7222  ax-mulrcl 7223  ax-addcom 7224  ax-mulcom 7225  ax-addass 7226  ax-mulass 7227  ax-distr 7228  ax-i2m1 7229  ax-0lt1 7230  ax-1rid 7231  ax-0id 7232  ax-rnegex 7233  ax-precex 7234  ax-cnre 7235  ax-pre-ltirr 7236  ax-pre-ltwlin 7237  ax-pre-lttrn 7238  ax-pre-apti 7239  ax-pre-ltadd 7240  ax-pre-mulgt0 7241  ax-pre-mulext 7242
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4078  df-po 4081  df-iso 4082  df-iord 4151  df-on 4153  df-ilim 4154  df-suc 4156  df-iom 4363  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-riota 5525  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-frec 6066  df-pnf 7303  df-mnf 7304  df-xr 7305  df-ltxr 7306  df-le 7307  df-sub 7434  df-neg 7435  df-reap 7828  df-ap 7835  df-div 7914  df-inn 8193  df-n0 8442  df-z 8519  df-uz 8787  df-iseq 9608  df-iexp 9659
This theorem is referenced by:  expmulzap  9705  expdivap  9710  sqrecapd  9792  exprecapd  9796
  Copyright terms: Public domain W3C validator