Theorem geo2lim 11288

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
geo2lim.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geo2lim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9364	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3		halfcn 8937	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5		halfre 8936	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6		halfge0 8939	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
7		absid 10846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
8	5, 6, 7	mp2an 422	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9		halflt1 8940	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
10	8, 9	eqbrtri 3949	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
12	4, 11	expcnv 11276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		geo2lim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15		nnex 8729	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16	15	mptex 5646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
17	14, 16	eqeltri 2212	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19		nnnn0 8987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
22	21, 20	expcld 10427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ)
23		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
24		eqid 2139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
25	23, 24	fvmptg 5497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
26	20, 22, 25	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
27	26, 22	eqeltrd 2216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
28		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		2nn 8884	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 10309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
31	29, 20, 30	sylancr 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
32	31	nncnd 8737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
33	31	nnap0d 8769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) # 0)
34	28, 32, 33	divrecapd 8556	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
35		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
36	28, 32, 33	divclapd 8553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
37		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
38	37	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
39	38, 14	fvmptg 5497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
40	35, 36, 39	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
41		2cn 8794	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		2ap0 8816	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
43		nnz 9076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
44	43	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
45		exprecap 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
46	41, 42, 44, 45	mp3an12i 1319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
47	26, 46	eqtrd 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
48	47	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
49	34, 40, 48	3eqtr4d 2182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
50	1, 2, 12, 13, 18, 27, 49	climmulc2 11103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51		mul01 8154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
52	50, 51	breqtrd 3954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53		seqex 10223	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
54	53	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
55	40, 36	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
56	40	oveq2d 5790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹‘𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
57		geo2sum 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
58	57	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59		elnnuz 9365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
60	59	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
61	60	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62		simpll 518	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	41	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 2 ∈ ℂ)
64	61	nnnn0d 9033	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
65	63, 64	expcld 10427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
66	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 2 # 0)
67	61	nnzd 9175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
68	63, 66, 67	expap0d 10433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → (2↑𝑛) # 0)
69	62, 65, 68	divclapd 8553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
70		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
71	70	oveq2d 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
72	71, 14	fvmptg 5497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
73	61, 69, 72	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
74	35, 1	eleqtrdi 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
75	73, 74, 69	fsum3ser 11169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
76	56, 58, 75	3eqtr2rd 2179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹‘𝑗)))
77	1, 2, 52, 13, 54, 55, 76	climsubc2 11105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
78		subid1 7985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
79	77, 78	breqtrd 3954	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  ℝcr 7622  0cc0 7623  1c1 7624   + caddc 7626   · cmul 7628   < clt 7803   ≤ cle 7804   − cmin 7936   # cap 8346   / cdiv 8435  ℕcn 8723  2c2 8774  ℕ₀cn0 8980  ℤcz 9057  ℤ_≥cuz 9329  ...cfz 9793  seqcseq 10221  ↑cexp 10295  abscabs 10772   ⇝ cli 11050  Σcsu 11125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-ihash 10525  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126

This theorem is referenced by:  trilpolemeq1  13236