Theorem iseqf1olemqf1o 10269

Description: Lemma for seq3f1o 10280. 𝑄 is a permutation of (𝑀...𝑁). 𝑄 is formed from the constant portion of 𝐽, followed by the single element 𝐾 (at position 𝐾), followed by the rest of J (with the 𝐾 deleted and the elements before 𝐾 moved one position later to fill the gap). (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqf1o	⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑢,𝑀   𝑢,𝑁   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑢)

Proof of Theorem iseqf1olemqf1o

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemqf.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		iseqf1olemqf.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
3		iseqf1olemqf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
4	1, 2, 3	iseqf1olemqf 10267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	1	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
6	2	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		simplrl 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
8		simplrr 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
9		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤))
10	5, 6, 3, 7, 8, 9	iseqf1olemmo 10268	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) ∧ (𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤)) → 𝑣 = 𝑤)
11	10	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
12	11	ralrimivva 2514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑀...𝑁)∀𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
13		dff13 5669	. . 3 ⊢ (𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑀...𝑁)∀𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑄‘𝑣) = (𝑄‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
14	4, 12, 13	sylanbrc 413	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁))
15		elfzel1 9808	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	1, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		elfzel2 9807	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	16, 18	fzfigd 10207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
20		enrefg 6658	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑀...𝑁) ≈ (𝑀...𝑁))
21	19, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ≈ (𝑀...𝑁))
22		f1finf1o 6835	. . 3 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → (𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ↔ 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
23	21, 19, 22	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1→(𝑀...𝑁) ↔ 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
24	14, 23	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ifcif 3474   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ^◡ccnv 4538  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≈ cen 6632  Fincfn 6634  1c1 7624   − cmin 7936  ℤcz 9057  ...cfz 9793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-fz 9794

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10274  seq3f1olemqsumk  10275  seq3f1olemstep  10277