Theorem mappsrprg 7612

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7362	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7345	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7405	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5	3, 4	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
6	5	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
7		df-m1r 7541	. . . . . 6 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
8	7	breq1i 3936	. . . . 5 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 1P ∈ P)
10	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P) ∈ P)
11		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ P)
12		ltsrprg 7555	. . . . . 6 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
14	8, 13	syl5bb 191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
15	14	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴)))
16		m1r 7560	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
17		opelxpi 4571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P))
18		enrex 7545	. . . . . . . 8 ⊢ ~R ∈ V
19	18	ecelqsi 6483	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐴, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
21	1, 20	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
22		df-nr 7535	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2233	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
24		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
25		ltasrg 7578	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
27	15, 26	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
28	6, 27	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929   × cxp 4537  (class class class)co 5774  [cec 6427   / cqs 6428  Pcnp 7099  1_Pc1p 7100   +_P cpp 7101  <_P cltp 7103   ~_R cer 7104  Rcnr 7105  -1_Rcm1r 7108   +_R cplr 7109   <_R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-ltr 7538  df-m1r 7541

This theorem is referenced by:  map2psrprg  7613  suplocsrlemb  7614  suplocsrlem  7616