ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcld GIF version

Theorem nnmulcld 8038
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnmulcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 8011 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 397 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  (class class class)co 5540   · cmul 6952  cn 7990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-1rid 7049  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-iota 4895  df-fv 4938  df-ov 5543  df-inn 7991
This theorem is referenced by:  qbtwnre  9213  bcval  9617  bcm1k  9628  bcp1n  9629  permnn  9639  cvg1nlemcxze  9809  cvg1nlemf  9810  cvg1nlemcau  9811  cvg1nlemres  9812  modmulconst  10139  oddpwdclemxy  10257  oddpwdclemdc  10261
  Copyright terms: Public domain W3C validator