cvg1nlemres - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cvg1nlemres 10757

Description: Lemma for cvg1n 10758. The original sequence 𝐹 has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence 𝐺). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

**Assertion**
Ref	Expression
cvg1nlemres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑘 𝐶,𝑛,𝑘 𝑗,𝐹,𝑘,𝑛 𝑖,𝐺,𝑦,𝑘 𝑛,𝐺 𝑥,𝐺,𝑖,𝑦 𝑖,𝑍,𝑗,𝑘 𝑛,𝑍 𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗 𝜑,𝑘,𝑛 𝑥,𝑗,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥,𝑦,𝑗) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖) 𝐺(𝑗) 𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvg1nlemres Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		cvg1n.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
3		cvg1n.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4		cvg1nlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
5		cvg1nlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
6		cvg1nlem.start	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemf 10755	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemcau 10756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛) < ((𝐺‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
9	7, 8	caucvgre 10753	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
10		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (ℤ_≥‘𝑎) = (ℤ_≥‘𝑤))
11	10	raleqdv 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))))
12	11	cbvrexv 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
13	12	ralbii 2441	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
14	13	anbi2i 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))))
15	14	anbi1i 453	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺))
16		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 + 𝑐) = (𝑦 + (𝑥 / 2)))
17	16	breq2d 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ↔ (𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
18		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑏) + 𝑐) = ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))
19	18	breq2d 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐) ↔ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
20	17, 19	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))))
21	20	rexralbidv 2461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))))
22		simplr 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
23		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
24	23	rphalfcld 9496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
25	21, 22, 24	rspcdva 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
26	15, 25	sylbir 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
27	2	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	ad4antr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		2re 8790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 2 ∈ ℝ)
31	28, 30	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ)
32		simplr 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
33	31, 32	rerpdivcld 9515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ)
34	5	ad4antr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℕ)
35	33, 34	nndivred 8770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
36		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℕ)
37	36	nnred 8733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 7795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
39		arch 8974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
41		simprl 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℕ)
42	34	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑍 ∈ ℕ)
43	41, 42	nnmulcld 8769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
44	1	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
45		simplrl 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℕ)
46	5	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℕ)
47	45, 46	nnmulcld 8769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
48		eluznn 9394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
49	47, 48	sylancom 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
50	44, 49	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
51	44, 47	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
52	32	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
53	52	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 8966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
55	51, 54	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
56		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	57, 54	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
59	58, 54	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
60	27	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60, 47	nndivred 8770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
63		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
64	63	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) = ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
65	64	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
66	63	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
67	65, 66	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
68		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
69		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
70		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))
71	70	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
72	69, 71	breq12d 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
73	69, 70	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
74	73	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
75	72, 74	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
76	68, 75	raleqbidv 2638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
77	3	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
78	76, 77, 47	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
79		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
80	67, 78, 79	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
81	80	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
82		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
83	82	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
84	83	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
85	84	rehalfcld 8966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
86	2	ad6antr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
87	36	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℕ)
88		simplrr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
89	86, 83, 46, 45, 87, 88	cvg1nlemcxze 10754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) < (𝑥 / 2))
90	61, 85, 89	ltled 7881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ≤ (𝑥 / 2))
91	61, 54, 51, 90	leadd2dd 8322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
92	50, 62, 55, 81, 91	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
93		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑒))
94	93	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
95	93	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)) = ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)))
96	95	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))))
97	94, 96	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)))))
98		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
99	98	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
100	87	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℝ)
101	45	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℝ)
102		2rp 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
103	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 2 ∈ ℝ⁺)
104	86, 103	rpmulcld 9500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ⁺)
105	104, 83	rpdivcld 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
106	46	nnrpd 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
107	105, 106	rpdivcld 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ⁺)
108	107	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
109	108, 100	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
110	100, 107	ltaddrp2d 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎))
111	100, 109, 101, 110, 88	lttrd 7888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < 𝑒)
112	100, 101, 111	ltled 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ≤ 𝑒)
113	87	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℤ)
114	45	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℤ)
115		eluz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑒))
116	113, 114, 115	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑒))
117	112, 116	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎))
118	97, 99, 117	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))))
119		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑒 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑒 · 𝑍))
120	119	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑒 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
121	120, 4	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
122	45, 51, 121	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
123	122	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
124	122	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
125	124	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
126	123, 125	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))))
127	118, 126	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
128	127	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)))
129	51, 58, 54, 128	ltadd1dd 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
130	50, 55, 59, 92, 129	lttrd 7888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
131	57	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℂ)
132	54	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
133	131, 132, 132	addassd 7788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
134	130, 133	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
135	52	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℂ)
136	135	2halvesd 8965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
137	136	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = (𝑦 + 𝑥))
138	134, 137	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥))
139	50, 54	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
140	139, 54	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
141	127	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
142	50, 61	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
143	80	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
144	61, 54, 50, 90	leadd2dd 8322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)))
145	51, 142, 139, 143, 144	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)))
146	51, 139, 54, 145	ltadd1dd 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
147	57, 55, 140, 141, 146	lttrd 7888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
148	50	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
149	148, 132, 132	addassd 7788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
150	147, 149	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
151	136	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
152	150, 151	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
153	138, 152	jca 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
154	153	ralrimiva 2505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
155		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
156	155	raleqdv 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
157	156	rspcev 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
158	43, 154, 157	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
159	40, 158	rexlimddv 2554	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
160	26, 159	rexlimddv 2554	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
161	15, 160	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
162	161	ralrimiva 2505	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
163	162	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
164	163	reximdva 2534	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
165	9, 164	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 = wceq 1331 ∈ wcel 1480 ∀wral 2416 ∃wrex 2417 class class class wbr 3929 ↦ cmpt 3989 ⟶wf 5119 ‘cfv 5123 (class class class)co 5774 ℝcr 7619 + caddc 7623 · cmul 7625 < clt 7800 ≤ cle 7801 / cdiv 8432 ℕcn 8720 2c2 8771 ℤcz 9054 ℤ_≥cuz 9326 ℝ⁺crp 9441

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-sep 4046 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-rp 9442

This theorem is referenced by: cvg1n 10758

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