ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn GIF version

Theorem evenennn 10831
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8182 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 3942 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 breq2 3809 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
43elrab 2757 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5 nnehalf 10529 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
64, 5sylbi 119 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7 2nn 8330 . . . . 5 2 ∈ ℕ
87a1i 9 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9 id 19 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
108, 9nnmulcld 8224 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11 2z 8530 . . . 4 2 ∈ ℤ
12 nnz 8521 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13 dvdsmul1 10443 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1411, 12, 13sylancr 405 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15 breq2 3809 . . . 4 (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1615elrab 2757 . . 3 ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1710, 14, 16sylanbrc 408 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18 elrabi 2754 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
1918adantr 270 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
2019nncnd 8190 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 simpr 108 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2221nncnd 8190 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 2cnd 8249 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24 2ap0 8269 . . . . 5 2 # 0
2524a1i 9 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8048 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑥 = (𝑦 · 2)))
27 eqcom 2085 . . . 4 ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2))
2827a1i 9 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2)))
2922, 23mulcomd 7272 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
3029eqeq2d 2094 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
3126, 28, 303bitr3rd 217 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
322, 1, 6, 17, 31en3i 6340 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  cen 6307  0cc0 7113   · cmul 7118   # cap 7818   / cdiv 7897  cn 8176  2c2 8226  cz 8502  cdvds 10421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-dvds 10422
This theorem is referenced by:  unennn  10835
  Copyright terms: Public domain W3C validator