ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recidnq GIF version

Theorem recidnq 6548
Description: A positive fraction times its reciprocal is 1. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
recidnq (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)

Proof of Theorem recidnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 6547 . 2 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 eqid 2056 . . 3 (*Q𝐴) = (*Q𝐴)
3 recmulnqg 6546 . . 3 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → ((*Q𝐴) = (*Q𝐴) ↔ (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q))
42, 3mpbii 140 . 2 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
51, 4mpdan 406 1 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cfv 4929  (class class class)co 5539  Qcnq 6435  1Qc1q 6436   ·Q cmq 6438  *Qcrq 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507
This theorem is referenced by:  recrecnq  6549  rec1nq  6550  halfnqq  6565  prarloclemarch  6573  ltrnqg  6575  addnqprllem  6682  addnqprulem  6683  addnqprl  6684  addnqpru  6685  appdivnq  6718  mulnqprl  6723  mulnqpru  6724  1idprl  6745  1idpru  6746  recexprlem1ssl  6788  recexprlem1ssu  6789  recexprlemss1l  6790  recexprlemss1u  6791  recidpipr  6989
  Copyright terms: Public domain W3C validator