Theorem seqp1cd 10239

Description: Value of the sequence builder function at a successor. A version of seq3p1 10235 which provides two classes 𝐷 and 𝐶 for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1cd.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqp1cd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqp1cd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqp1cd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqp1cd	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seqp1cd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1cd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 9331	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		seqp1cd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
5		ssv 3119	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ V
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ V)
7		seqp1cd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		seqp1cd.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
9	7, 8	seqovcd 10236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
10		iseqvalcbv 10230	. . . 4 ⊢ frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝐶 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
11	3, 10, 4, 8, 7	seqvalcd 10232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝐶 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
12	3, 4, 6, 9, 10, 11	frecuzrdgsuct 10197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
13	1, 12	mpdan 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
14		eqid 2139	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
15	4, 8, 14, 3, 7	seqf2 10237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
16	15, 1	ffvelrnd 5556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐶)
17		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
18	17	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐷))
19	7	ralrimiva 2505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
20		eluzp1p1 9351	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
21	1, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
22	18, 19, 21	rspcdva 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐷)
23	8, 16, 22	caovcld 5924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝐶)
24		fvoveq1 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 5790	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
26		oveq1 5781	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
27		eqid 2139	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
28	25, 26, 27	ovmpog 5905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐶 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝐶) → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29	1, 16, 23, 28	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30	13, 29	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  freccfrec 6287  1c1 7621   + caddc 7623  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemp1  11919