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Theorem ssfzo12bi 9182
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 898 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
21biimpri 128 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
323adant2 934 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4 ssfzo12 9181 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
53, 4syl 14 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
6 elfzo2 9108 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7 eluz2 8574 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥))
8 simprrl 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1312adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℝ)
15 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1615adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1716adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
1817adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
19 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 letr 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2322imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀𝑥)
249, 10, 233jca 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
2524exp31 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2625com23 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2726expdimp 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2827impancom 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2928com13 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
30293adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3130com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3231adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3332impcom 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3433com12 30 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3534adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3635imp 119 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
37 eluz2 8574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
3836, 37sylibr 141 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
39 simpl2r 969 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4119adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4342ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
44 zre 8305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4544adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 ltletr 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
4941, 43, 47, 48syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
5049ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
5150com23 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
52513adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5352expcomd 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5453adantld 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5554imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5655com13 78 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5756adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5857imp 119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
5958imp 119 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
60 elfzo2 9108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1099 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
6261exp31 350 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63623adant1 933 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
647, 63sylbi 118 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
6564imp 119 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66653adant2 934 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
676, 66sylbi 118 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6867com12 30 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6968ssrdv 2978 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
7069ex 112 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
715, 70impbid 124 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896  wcel 1409  wss 2944   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cr 6945   < clt 7118  cle 7119  cz 8301  cuz 8568  ..^cfzo 9100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-fz 8976  df-fzo 9101
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