ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr GIF version

Theorem letr 7159
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 7145 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
213coml 1122 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3 orcom 657 . . . 4 ((𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
42, 3syl6ib 154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
54con3d 571 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
6 lenlt 7152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
763adant3 935 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 lenlt 7152 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
983adant1 933 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
107, 9anbi12d 450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
11 ioran 679 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
1210, 11syl6bbr 191 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
13 lenlt 7152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
14133adant2 934 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
155, 12, 143imtr4d 196 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < clt 7118  cle 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltwlin 7054
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124
This theorem is referenced by:  letri  7183  letrd  7198  le2add  7512  le2sub  7529  p1le  7889  lemul12b  7901  lemul12a  7902  zletr  8350  peano2uz2  8403  ledivge1le  8749  fznlem  9006  elfz1b  9053  elfz0fzfz0  9084  fz0fzelfz0  9085  fz0fzdiffz0  9088  elfzmlbmOLD  9090  elfzmlbp  9091  difelfznle  9094  ssfzo12bi  9182  flqge  9231  fldiv4p1lem1div2  9254  monoord  9398  leexp2r  9473  expubnd  9476  le2sq2  9494  facwordi  9607  faclbnd3  9610  facavg  9613  ialgcvga  10252
  Copyright terms: Public domain W3C validator