Theorem xlt2add 9666

Description: Extended real version of lt2add 8210. Note that ltleadd 8211, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xlt2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcl 9646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2	1	3ad2ant1 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
3	2	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4		simp1l 1005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp2r 1008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
6		xaddcl 9646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
7	4, 5, 6	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
8	7	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
9		xaddcl 9646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
10	9	3ad2ant2 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
12		simp3r 1010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14		simp1r 1006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
17		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		xltadd2 9663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
20	13, 19	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷))
21		simp3l 1009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
22	21	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
23	4	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		simp2l 1007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
25	24	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26		simprr 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27		xltadd1 9662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
29	22, 28	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
30	3, 8, 11, 20, 29	xrlttrd 9595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
31	30	anassrs 397	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
32		pnfxr 7821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ*)
34		pnfge 9578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → 𝐶 ≤ +∞)
35	24, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
36	4, 24, 33, 21, 35	xrltletrd 9597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37		npnflt 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
39	36, 38	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
40		pnfge 9578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → 𝐷 ≤ +∞)
41	5, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
42	14, 5, 33, 12, 41	xrltletrd 9597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
43		npnflt 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
44	14, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
45	42, 44	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
46		xaddnepnf 9644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
47	4, 39, 14, 45, 46	syl22anc 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
48		npnflt 9601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
49	2, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
50	47, 49	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
51	50	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
52		oveq2 5782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 +∞))
53		mnfxr 7825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
55		mnfle 9581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
56	4, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
57	54, 4, 24, 56, 21	xrlelttrd 9596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
58		nmnfgt 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
59	24, 58	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
60	57, 59	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
61		xaddpnf1 9632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
62	24, 60, 61	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
63	52, 62	sylan9eqr 2194	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +𝑒 𝐷) = +∞)
64	51, 63	breqtrrd 3956	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
65	64	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
66		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → 𝐷 = -∞)
67		mnfle 9581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
68	14, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
69	54, 14, 5, 68, 12	xrlelttrd 9596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
70		nmnfgt 9604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
71	5, 70	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
72	69, 71	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
73	72	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → 𝐷 ≠ -∞)
74	66, 73	pm2.21ddne 2391	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
75	74	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
76		elxr 9566	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
77	5, 76	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
78	77	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
79	31, 65, 75, 78	mpjao3dan 1285	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
80		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
81	39	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
82	80, 81	pm2.21ddne 2391	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
83		oveq1 5781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
84		xaddmnf2 9635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
85	14, 45, 84	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
86	83, 85	sylan9eqr 2194	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
87		xaddnemnf 9643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
88	24, 60, 5, 72, 87	syl22anc 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
89		nmnfgt 9604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
90	10, 89	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
91	88, 90	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
92	91	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
93	86, 92	eqbrtrd 3950	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
94		elxr 9566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
95	4, 94	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
96	79, 82, 93, 95	mpjao3dan 1285	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
97	96	3expia 1183	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 961   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7622  +∞cpnf 7800  -∞cmnf 7801  ℝ^*cxr 7802   < clt 7803   ≤ cle 7804   +_𝑒 cxad 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-i2m1 7728  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-xadd 9563

This theorem is referenced by:  bldisj  12573