Theorem pnfxr 7818

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3240	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 7802	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 7744	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4359	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4107	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2212	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3629	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3094	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 7804	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2215	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  𝒫 cpw 3510  {cpr 3528  ∪ cuni 3736  ℂcc 7618  ℝcr 7619  +∞cpnf 7797  -∞cmnf 7798  ℝ^*cxr 7799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-cnex 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7802  df-xr 7804

This theorem is referenced by:  pnfex  7819  pnfnemnf  7820  xnn0xr  9045  xrltnr  9566  ltpnf  9567  mnfltpnf  9571  pnfnlt  9573  pnfge  9575  xrlttri3  9583  nltpnft  9597  xgepnf  9599  xrrebnd  9602  xrre  9603  xrre2  9604  xnegcl  9615  xaddf  9627  xaddval  9628  xaddpnf1  9629  xaddpnf2  9630  pnfaddmnf  9633  mnfaddpnf  9634  xrex  9639  xaddass2  9653  xltadd1  9659  xlt2add  9663  xsubge0  9664  xposdif  9665  xleaddadd  9670  elioc2  9719  elico2  9720  elicc2  9721  ioomax  9731  iccmax  9732  ioopos  9733  elioopnf  9750  elicopnf  9752  unirnioo  9756  elxrge0  9761  hashinfom  10524  rexico  10993  xrmaxiflemcl  11014  xrmaxadd  11030  xblpnfps  12567  xblpnf  12568  xblss2ps  12573  blssec  12607  blpnfctr  12608  reopnap  12707  blssioo  12714