ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpexg GIF version

Theorem xpexg 4479
Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
xpexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4477 . 2 (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)
2 unexg 4205 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
3 pwexg 3960 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
4 pwexg 3960 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
52, 3, 43syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
6 ssexg 3923 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 399 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  Vcvv 2574  cun 2942  wss 2944  𝒫 cpw 3386   × cxp 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-opab 3846  df-xp 4378
This theorem is referenced by:  xpex  4480  resiexg  4680  cnvexg  4882  coexg  4889  fex2  5086  fabexg  5104  resfunexgALT  5764  cofunexg  5765  fnexALT  5767  opabex3d  5775  opabex3  5776  oprabexd  5781  ofmresex  5791  mpt2exxg  5860  tposexg  5903  erex  6160  xpdom2  6335  xpdom3m  6338  shftfvalg  9640  climconst2  10035
  Copyright terms: Public domain W3C validator