MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni3 8867
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
acni3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3956 . . . . . 6 ({𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑋 𝜑)
21biimpri 218 . . . . 5 (∃𝑦𝑋 𝜑 → {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)
3 ssrab2 3685 . . . . 5 {𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋
42, 3jctil 560 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝜑 → ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
54ralimi 2951 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑 → ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
6 acni2 8866 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
75, 6sylan2 491 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
8 acni3.1 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
98elrab 3361 . . . . . 6 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} ↔ ((𝑔𝑥) ∈ 𝑋𝜓))
109simprbi 480 . . . . 5 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → 𝜓)
1110ralimi 2951 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → ∀𝑥𝐴 𝜓)
1211anim2i 593 . . 3 ((𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → (𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312eximi 1761 . 2 (∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
147, 13syl 17 1 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  {crab 2915  wss 3572  c0 3913  wf 5882  cfv 5886  AC wacn 8761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-map 7856  df-acn 8765
This theorem is referenced by:  fodomacn  8876  iundom2g  9359  ptclsg  21412
  Copyright terms: Public domain W3C validator