Theorem bj-pr2val 34333

Description: Value of the second projection. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr2val	⊢ pr2 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = 1o, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-pr2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pr2 34330	. 2 ⊢ pr2 ({𝐴} × tag 𝐵) = (1o Proj ({𝐴} × tag 𝐵))
2		1oex 8110	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
3		bj-projval 34311	. . 3 ⊢ (1o ∈ V → (1o Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = 1o, 𝐵, ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1o Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = 1o, 𝐵, ∅)
5	1, 4	eqtri 2844	1 ⊢ pr2 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = 1o, 𝐵, ∅)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  ∅c0 4291  ifcif 4467  {csn 4567   × cxp 5553  1_oc1o 8095  tag bj-ctag 34289   Proj bj-cproj 34305  pr₂ bj-cpr2 34329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-1o 8102  df-bj-sngl 34281  df-bj-tag 34290  df-bj-proj 34306  df-bj-pr2 34330

This theorem is referenced by:  bj-pr22val  34334