Theorem cvrnrefN 36433

Description: The covers relation is not reflexive. (cvnref 30068 analog.) (Contributed by NM, 1-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnrefN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cvrnrefN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐴)
3		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋𝐶𝑋)
5		cvrne.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrne.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7	5, 6	cvrne 36432	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
8	2, 3, 3, 4, 7	syl31anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
9	8	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
10	9	necon2bd 3032	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐶𝑋))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  Basecbs 16483   ⋖ ccvr 36413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-plt 17568  df-covers 36417

This theorem is referenced by: (None)