Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord6b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord6b 36866
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord3.l = (le‘𝐾)
dihord3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord3.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihord6b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))

Proof of Theorem dihord6b
StepHypRef Expression
1 simp2r 1108 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ 𝑋 𝑊)
2 simp3r 1110 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 𝑊)
3 simp1l 1105 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 34968 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2l 1107 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
7 simp3l 1109 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
8 simp1r 1106 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐻)
9 dihord3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihord3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 35602 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐵)
13 dihord3.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
149, 13lattr 17103 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑊) → 𝑋 𝑊))
155, 6, 7, 12, 14syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑊) → 𝑋 𝑊))
162, 15mpan2d 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌𝑋 𝑊))
171, 16mtod 189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ 𝑋 𝑌)
1817pm2.21d 118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌 → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)))
1918imp 444 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Latclat 17092  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DIsoHcdih 36834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-poset 16993  df-lat 17093  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592
This theorem is referenced by:  dihord  36870
  Copyright terms: Public domain W3C validator