Theorem eldisjs5 35992

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs5	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem eldisjs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs2 35989	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosscnvssid5 35751	. . 3 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3		elrelsrel 35760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
4	3	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅)))
5	3	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅)))
6	4, 5	bibi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )) ↔ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))))
7	2, 6	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))
8	1, 7	syl5bb 285	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ 𝑅 ∈ Rels )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125   ∩ cin 3911   ⊆ wss 3912  ∅c0 4267   I cid 5433  ^◡ccnv 5528  dom cdm 5529  Rel wrel 5534  [cec 8263   ≀ ccoss 35486   Rels crels 35488   Disjs cdisjs 35519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-id 5434  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ec 8267  df-coss 35692  df-rels 35758  df-ssr 35771  df-cnvrefs 35796  df-cnvrefrels 35797  df-disjss 35969  df-disjs 35970

This theorem is referenced by: (None)