Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f13dfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f13dfv 6484
 Description: A one-to-one function with a domain with at least three different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13dfv.a 𝐴 = {𝑋, 𝑌, 𝑍}
Assertion
Ref Expression
f13dfv (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))))

Proof of Theorem f13dfv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6482 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
2 f13dfv.a . . . . 5 𝐴 = {𝑋, 𝑌, 𝑍}
32raleqi 3131 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌, 𝑍}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
4 sneq 4158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
54difeq2d 3706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑋}))
6 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
76neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦)))
85, 7raleqbidv 3141 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦)))
9 sneq 4158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → {𝑥} = {𝑌})
109difeq2d 3706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑌}))
11 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑌))
1211neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦)))
1310, 12raleqbidv 3141 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦)))
14 sneq 4158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → {𝑥} = {𝑍})
1514difeq2d 3706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑍}))
16 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑍))
1716neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦)))
1815, 17raleqbidv 3141 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦)))
198, 13, 18raltpg 4207 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌, 𝑍}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦))))
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌, 𝑍}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦))))
212difeq1i 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑋}) = ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑋})
22 tprot 4254 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, 𝑋}
2322difeq1i 3702 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑋}) = ({𝑌, 𝑍, 𝑋} ∖ {𝑋})
24 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌𝑌𝑋)
25 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
2624, 25anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑌𝑋𝑍) ↔ (𝑌𝑋𝑍𝑋))
2726biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑌𝑋𝑍) → (𝑌𝑋𝑍𝑋))
28273adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑌𝑋𝑍𝑋))
29 diftpsn3 4301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑋𝑍𝑋) → ({𝑌, 𝑍, 𝑋} ∖ {𝑋}) = {𝑌, 𝑍})
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑌, 𝑍, 𝑋} ∖ {𝑋}) = {𝑌, 𝑍})
3123, 30syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑋}) = {𝑌, 𝑍})
3221, 31syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌, 𝑍})
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐴 ∖ {𝑋}) = {𝑌, 𝑍})
3433raleqdv 3133 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑌, 𝑍} (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦)))
35 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑌))
3635neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌)))
37 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑍 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑍))
3837neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑍 → ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)))
3936, 38ralprg 4205 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝑉𝑍𝑊) → (∀𝑦 ∈ {𝑌, 𝑍} (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍))))
40393adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (∀𝑦 ∈ {𝑌, 𝑍} (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍))))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ {𝑌, 𝑍} (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍))))
4234, 41bitrd 268 . . . . . . 7 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍))))
432difeq1i 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑌}) = ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑌})
44 tpcomb 4256 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑍, 𝑌}
4544difeq1i 3702 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑌}) = ({𝑋, 𝑍, 𝑌} ∖ {𝑌})
46 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
4746biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
4847anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑌𝑌𝑍) → (𝑋𝑌𝑍𝑌))
49483adant2 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋𝑌𝑍𝑌))
50 diftpsn3 4301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑌𝑍𝑌) → ({𝑋, 𝑍, 𝑌} ∖ {𝑌}) = {𝑋, 𝑍})
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑍, 𝑌} ∖ {𝑌}) = {𝑋, 𝑍})
5245, 51syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑌}) = {𝑋, 𝑍})
5343, 52syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋, 𝑍})
5453adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐴 ∖ {𝑌}) = {𝑋, 𝑍})
5554raleqdv 3133 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑍} (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦)))
56 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑋))
5756neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋)))
5837neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑍 → ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
5957, 58ralprg 4205 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑈𝑍𝑊) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑍} (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
60593adant2 1078 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑍} (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
6160adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑍} (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
6255, 61bitrd 268 . . . . . . 7 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
632difeq1i 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑍}) = ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑍})
64 diftpsn3 4301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑍}) = {𝑋, 𝑌})
65643adant1 1077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌, 𝑍} ∖ {𝑍}) = {𝑋, 𝑌})
6663, 65syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝐴 ∖ {𝑍}) = {𝑋, 𝑌})
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐴 ∖ {𝑍}) = {𝑋, 𝑌})
6867raleqdv 3133 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦)))
6956neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)))
7035neeq2d 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌)))
7169, 70ralprg 4205 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑈𝑌𝑉) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
72713adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
7372adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
7468, 73bitrd 268 . . . . . . 7 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
7542, 62, 743anbi123d 1396 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌)))))
76 ancom 466 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ↔ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋)))
77763anbi2i 1252 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))) ↔ (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
78 3an6 1406 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))) ↔ (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)) ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))))
79 3anrot 1041 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)))
8079bicomi 214 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
81 necom 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ↔ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋))
82 necom 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌))
83 necom 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌) ↔ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))
8481, 82, 833anbi123i 1249 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌)) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
8580, 84anbi12i 732 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)) ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))) ↔ (((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
86 anidm 675 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))) ↔ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
87 3ancoma 1043 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
88 necom 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍))
89883anbi2i 1252 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
9087, 89bitri 264 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
9185, 86, 903bitri 286 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋)) ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
9277, 78, 913bitri 286 . . . . . 6 ((((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)) ∧ ((𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑌))) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))
9375, 92syl6bb 276 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})(𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑍})(𝐹𝑍) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
9420, 93bitrd 268 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌, 𝑍}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
953, 94syl5bb 272 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍))))
9695anbi2d 739 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))))
971, 96syl5bb 272 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑌) ∧ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑌) ≠ (𝐹𝑍)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907   ∖ cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  {ctp 4152  ⟶wf 5843  –1-1→wf1 5844  ‘cfv 5847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fv 5855 This theorem is referenced by:  f13idfv  12740
 Copyright terms: Public domain W3C validator