MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funressn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funressn 6466
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
funressn (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn
StepHypRef Expression
1 funfn 5956 . . . 4 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 fnressn 6465 . . . 4 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
31, 2sylanb 488 . . 3 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
4 eqimss 3690 . . 3 ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
53, 4syl 17 . 2 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
6 disjsn 4278 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7 fnresdisj 6039 . . . . . 6 (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
81, 7sylbi 207 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
96, 8syl5bbr 274 . . . 4 (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
109biimpa 500 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11 0ss 4005 . . 3 ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}
1210, 11syl6eqss 3688 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
135, 12pm2.61dan 849 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  dom cdm 5143  cres 5145  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  fnsnr  6472  tfrlem16  7534  fnfi  8279  fodomfi  8280
  Copyright terms: Public domain W3C validator