MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funtp 5943
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1 𝐴 ∈ V
funtp.2 𝐵 ∈ V
funtp.3 𝐶 ∈ V
funtp.4 𝐷 ∈ V
funtp.5 𝐸 ∈ V
funtp.6 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
funtp ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
2 funtp.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 funtp.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 funtp.5 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
51, 2, 3, 4funpr 5942 . . . . 5 (𝐴𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩})
6 funtp.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
7 funtp.6 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
86, 7funsn 5937 . . . . 5 Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}
95, 8jctir 561 . . . 4 (𝐴𝐵 → (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
103, 4dmprop 5608 . . . . . . 7 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐴, 𝐵}
11 df-pr 4178 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1210, 11eqtri 2643 . . . . . 6 dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
137dmsnop 5607 . . . . . 6 dom {⟨𝐶, 𝐹⟩} = {𝐶}
1412, 13ineq12i 3810 . . . . 5 (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
15 disjsn2 4245 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
16 disjsn2 4245 . . . . . . 7 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1715, 16anim12i 590 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
18 undisj1 4027 . . . . . 6 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
1917, 18sylib 208 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
2014, 19syl5eq 2667 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅)
21 funun 5930 . . . 4 (((Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∧ Fun {⟨𝐶, 𝐹⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∩ dom {⟨𝐶, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
229, 20, 21syl2an 494 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
23223impb 1259 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
24 df-tp 4180 . . 3 {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2524funeqi 5907 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩}))
2623, 25sylibr 224 1 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → Fun {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  Vcvv 3198  cun 3570  cin 3571  c0 3913  {csn 4175  {cpr 4177  {ctp 4179  cop 4181  dom cdm 5112  Fun wfun 5880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-br 4652  df-opab 4711  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-fun 5888
This theorem is referenced by:  fntp  5947  fntpb  6470  cnfldfun  19752
  Copyright terms: Public domain W3C validator