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Theorem fununi 5927
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Distinct variable group:   𝑓,𝑔,𝐴

Proof of Theorem fununi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5869 . . . . 5 (Fun 𝑓 → Rel 𝑓)
21adantr 481 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝑓)
32ralimi 2947 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
4 reluni 5207 . . 3 (Rel 𝐴 ↔ ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
53, 4sylibr 224 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Rel 𝐴)
6 r19.28v 3065 . . . 4 ((Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
76ralimi 2947 . . 3 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
8 ssel 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑣 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣))
98anim1d 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
10 dffun4 5864 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑣 ↔ (Rel 𝑣 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1110simprbi 480 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑣 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
121119.21bbi 2058 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑣 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
131219.21bi 2057 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑣 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
149, 13syl9r 78 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑣 → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑤𝑣 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
16 ssel 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑤 → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤))
1716anim2d 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤)))
18 dffun4 5864 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑤 ↔ (Rel 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧)))
1918simprbi 480 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑤 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
201919.21bbi 2058 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑤 → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
212019.21bi 2057 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑤) → 𝑦 = 𝑧))
2217, 21syl9r 78 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑤 → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → (𝑣𝑤 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2415, 23jaod 395 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) → ((𝑤𝑣𝑣𝑤) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
2524imp 445 . . . . . . 7 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
26252ralimi 2948 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) → ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
27 funeq 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑤))
28 sseq1 3610 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑤𝑔))
29 sseq2 3611 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑔𝑤))
3028, 29orbi12d 745 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑔𝑔𝑤)))
3127, 30anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤))))
32 sseq2 3611 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑤𝑔𝑤𝑣))
33 sseq1 3610 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔𝑤𝑣𝑤))
3432, 33orbi12d 745 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑤𝑔𝑔𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
3534anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑣 → ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑔𝑔𝑤)) ↔ (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
3631, 35cbvral2v 3170 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
37 ralcom 3091 . . . . . . . . 9 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
38 orcom 402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑔𝑓𝑓𝑔))
39 sseq1 3610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑔𝑓𝑤𝑓))
40 sseq2 3611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑤 → (𝑓𝑔𝑓𝑤))
4139, 40orbi12d 745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑔𝑓𝑓𝑔) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4238, 41syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑤 → ((𝑓𝑔𝑔𝑓) ↔ (𝑤𝑓𝑓𝑤)))
4342anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑤 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ (Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤))))
44 funeq 5872 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑣))
45 sseq2 3611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑤𝑓𝑤𝑣))
46 sseq1 3610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓𝑤𝑣𝑤))
4745, 46orbi12d 745 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑣 → ((𝑤𝑓𝑓𝑤) ↔ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
4844, 47anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑣 → ((Fun 𝑓 ∧ (𝑤𝑓𝑓𝑤)) ↔ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
4943, 48cbvral2v 3170 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝐴𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5037, 49bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5136, 50anbi12i 732 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
52 anidm 675 . . . . . . 7 ((∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓))) ↔ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)))
53 anandir 871 . . . . . . . . 9 (((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
54532ralbii 2976 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
55 r19.26-2 3059 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))))
5654, 55bitr2i 265 . . . . . . 7 ((∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑤 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 (Fun 𝑣 ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤))) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
5751, 52, 563bitr3i 290 . . . . . 6 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((Fun 𝑤 ∧ Fun 𝑣) ∧ (𝑤𝑣𝑣𝑤)))
58 eluni 4410 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴))
59 eluni 4410 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴))
6058, 59anbi12i 732 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
61 eeanv 2181 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑤(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)))
62 an4 864 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)))
63 ancom 466 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) ∧ (𝑤𝐴𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6462, 63bitri 264 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
65642exbii 1772 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑣((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤𝑤𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣𝑣𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6660, 61, 653bitr2i 288 . . . . . . . 8 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)))
6766imbi1i 339 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
68 19.23v 1899 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
69 r2al 2934 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
70 impexp 462 . . . . . . . . 9 ((((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
71702albii 1745 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧)))
72 19.23v 1899 . . . . . . . . 9 (∀𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7372albii 1744 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑣(((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧))
7469, 71, 733bitr2ri 289 . . . . . . 7 (∀𝑤(∃𝑣((𝑤𝐴𝑣𝐴) ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣)) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7567, 68, 743bitr2i 288 . . . . . 6 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑣𝐴 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑤 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑣) → 𝑦 = 𝑧))
7626, 57, 753imtr4i 281 . . . . 5 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7776alrimiv 1852 . . . 4 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7877alrimivv 1853 . . 3 (∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (Fun 𝑓 ∧ (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
797, 78syl 17 . 2 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
80 dffun4 5864 . 2 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))
815, 79, 80sylanbrc 697 1 (∀𝑓𝐴 (Fun 𝑓 ∧ ∀𝑔𝐴 (𝑓𝑔𝑔𝑓)) → Fun 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  wal 1478  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wss 3559  cop 4159   cuni 4407  Rel wrel 5084  Fun wfun 5846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-fun 5854
This theorem is referenced by:  funcnvuni  7073  fun11uni  7074  axdc3lem2  9225
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