Theorem gruf 10233

Description: A Grothendieck universe contains all functions on its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruf	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
2	1	feqmptd 6733	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		fvex 6683	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	fnasrn 6907	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩)
5	2, 4	syl6eq 2872	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩))
6		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
7		gruel 10225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	7	3expa 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	8	3adantl3 1164	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		ffvelrn 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	10	3ad2antl3 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
12		gruop 10227	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
14	13	fmpttd 6879	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈)
15		grurn 10223	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
16	14, 15	syld3an3 1405	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
17	5, 16	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  Univcgru 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408  df-gru 10213

This theorem is referenced by: (None)